Mathematik · Klasse 12 · aktualisiert
Unbestimmtes Integral einfach erklärt
Das unbestimmte Integral fasst alle Stammfunktionen zusammen. Du lernst, warum die Konstante C dazugehört und wie du Stammfunktionen findest und prüfst.
0 von 12 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Das unbestimmte Integral ist die Menge aller Stammfunktionen von f: \int f(x)\,dx=F(x)+C mit F'(x)=f(x). Die Konstante C steht für jede reelle Zahl, weil sie beim Ableiten wegfällt. Beispiel: \int 2x\,dx=x^2+C.
Ein unbestimmtes Integral beschreibt alle Funktionen, deren Ableitung der gegebene Integrand ist. Deshalb gehört zur Antwort immer eine Integrationskonstante: \int f(x)\,dx=F(x)+C mit F'(x)=f(x) und C\in\mathbb R.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Beim Integrieren suchst du rückwärts: Du kennst eine Funktion f und suchst eine Funktion F, deren Ableitung wieder f ergibt. Der Ausdruck \int f(x)\,dx heißt unbestimmtes Integral. Der Term f(x) unter dem Integralzeichen ist der Integrand. Das Zeichen dx zeigt, dass nach der Variablen x integriert wird. Beim Ableiten verschwindet jede additive Konstante: Die Ableitung von C ist 0. Deshalb haben F(x), F(x)+1 und F(x)-8 dieselbe Ableitung. Das C steht nicht für eine bestimmte Zahl. Es kann jede reelle Zahl sein und fasst unendlich viele Stammfunktionen zu einer Stammfunktionsfamilie zusammen.
Definition
Stammfunktion
Eine Funktion F heißt Stammfunktion von f, wenn F'(x)=f(x) gilt.
Beispiel: Stammfunktionen von f(x)=2x
- 1F(x)=x^2, denn F'(x)=2x
- 2Auch (x^2+1)'=2x und (x^2+3)'=2x
- 3Also: \int 2x\,dx=x^2+C
Merke: Ohne Integrationsgrenzen lautet die vollständige Antwort nicht nur F(x), sondern F(x)+C mit C\in\mathbb R.
Teste dich
Nutze das Ableiten als sichere Kontrolle. Suche zunächst eine passende Stammfunktion, ergänze +C und leite anschließend dein Ergebnis ab. Bei einer Summe kannst du die Beiträge einzeln betrachten. Ein konstanter Summand wie 5 stammt zum Beispiel von 5x, denn (5x)'=5. Ein Produkt wie x\cdot(x+1) darfst du dagegen nicht Faktor für Faktor integrieren: Multipliziere es zuerst aus.
Beispiel: Unbestimmtes Integral von x^5
- 1Ansatz: \frac{1}{6}x^6, denn beim Ableiten wird die 6 zum Faktor
- 2Probe: \left(\frac{1}{6}x^6+C\right)'=\frac{1}{6}\cdot 6x^5+0=x^5
- 3Also: \int x^5\,dx=\frac{1}{6}x^6+C
Beispiel: Stammfunktionen von x^3+5
- 1F(x)=\frac{1}{4}x^4+5x+C
- 2Probe: F'(x)=x^3+5
Teste dich
Ein unbestimmtes Integral hat keine Grenzen und liefert eine Funktionenschar. Ein bestimmtes Integral hat eine untere Grenze a und eine obere Grenze b und liefert einen eindeutigen Zahlenwert: \int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a) Dabei spielt die Wahl von C keine Rolle, weil sich die Konstante beim Subtrahieren aufhebt. Ein bestimmtes Integral ist eine orientierte Flächenbilanz: Bereiche oberhalb der x-Achse zählen positiv, Bereiche darunter negativ. Das unbestimmte Integral selbst ist keine einzelne Fläche und kein einzelner Zahlenwert.
Beispiel: Das bestimmte Integral von x^3+5 zwischen 2 und 4
- 1F(x)=\frac{1}{4}x^4+5x+C
- 2F(4)=64+20+C und F(2)=4+10+C
- 3\int_2^4(x^3+5)\,dx=(64+20+C)-(4+10+C)=70
- 4Das C hebt sich auf. Ergebnis: die Zahl 70, keine Funktionenschar
Teste dich
Unbestimmte Integrale helfen, einen Bestand aus seiner Änderungsrate zu rekonstruieren. Die Änderungsrate ist die Ableitung des Bestands; durch Integrieren erhältst du den Bestand bis auf C zurück.
Beispiel: Bestand aus der Änderungsrate B'(t)=2t-1
- 1B(t)=t^2-t+C, denn (t^2-t+C)'=2t-1
- 2Ohne Zusatzangabe bleibt C offen.
- 3Angenommen, der Anfangsbestand ist B(0)=3.
- 4B(0)=0^2-0+C=C, also C=3
- 5Konkreter Verlauf: B(t)=t^2-t+3
Merke: Das unbestimmte Integral liefert alle möglichen Verläufe. Eine zusätzliche Bestandsangabe wählt einen konkreten Verlauf und damit einen Wert für C aus.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Unbestimmtes Integral
Bedeutung
alle Stammfunktionen eines Integranden
Grundbedingung
F'(x)=f(x)
Vollständige Schreibweise
F(x)+C
Kontrolle
Ergebnis ableiten
Abgrenzung
keine Grenzen und kein einzelner Zahlenwert
Anwendung
Bestand aus einer Änderungsrate rekonstruieren
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
\int(6x^2-4x+3)\,dx und die Stammfunktion mit F(1)=5
- 1Summandenweise: \int(6x^2-4x+3)\,dx=2x^3-2x^2+3x+C
- 2Probe: (2x^3-2x^2+3x+C)'=6x^2-4x+3
- 3Bedingung einsetzen: F(1)=2-2+3+C=3+C
- 43+C=5, also C=2
- 5Die gesuchte Stammfunktion ist F(x)=2x^3-2x^2+3x+2.
Fehler finden
\int x\cdot(x+1)\,dx bestimmen In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 2Ein Produkt darfst du nicht faktorweise integrieren. Multipliziere zuerst aus: x\cdot(x+1)=x^2+x, also \int(x^2+x)\,dx=\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2+C. Die Probe verrät den Fehler: \left(\frac{1}{4}x^4+\frac{1}{2}x^3\right)'=x^3+\frac{3}{2}x^2.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Beim unbestimmten Integral suchst du alle . Eine Stammfunktion F erfüllt . Deshalb steht am Ende .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback