Mathematik · Klasse 7–12 · aktualisiert
Venn-Diagramm einfach erklärt und angewendet
Ein Venn-Diagramm zeigt Mengen als Kreise in einem Rechteck. Du lernst, es zu lesen, aufzubauen und damit Schnitt, Vereinigung und Anzahlen zu bestimmen.
0 von 13 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Ein Venn-Diagramm stellt Mengen als geschlossene Formen in einem Rechteck dar, der Grundmenge. Die Überlappung zeigt die Schnittmenge A\cap B, beide Kreise zusammen die Vereinigung A\cup B. Beim Zählen gilt |A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|.
Ein Venn-Diagramm zeigt Mengen und ihre Beziehungen. Das Rechteck steht für die Grundmenge, geschlossene Formen stehen für einzelne Mengen und Überlappungen für gemeinsame Elemente. So erkennst du, was zu einer, zu mehreren oder zu keiner dargestellten Menge gehört.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Stell dir ein Rechteck mit zwei überlappenden Kreisen vor. Das Rechteck enthält alle Elemente, die in der Aufgabe betrachtet werden. Diese Grundmenge heißt oft \Omega. Die Kreise stellen Mengen dar.
Definition
Menge
Eine Menge ist eine Sammlung von Elementen. Steht ein Element innerhalb des Kreises von A, gehört es zu A. Liegt es in der Überlappung von A und B, gehört es zu beiden Mengen. Außerhalb beider Kreise, aber innerhalb des Rechtecks, gehört es zur Grundmenge, jedoch weder zu A noch zu B.
Beispiel: A=\{2,3,c,d\} und B=\{3,7,a,b,c\} eintragen
- 1In die Überlappung kommen 3 und c, denn beide stehen in A und in B.
- 2Nur in A liegen 2 und d.
- 3Nur in B liegen 7, a und b.
Merke: Die Größe eines Kreises zeigt normalerweise nicht, wie viele Elemente eine Menge enthält oder wie wahrscheinlich ein Ereignis ist. Dafür brauchst du eingetragene Elemente oder Zahlen.
Teste dich
Wörter in einer Aufgabe verraten häufig, welcher Mengenbereich gesucht ist. Das mathematische „oder“ ist einschließend: Es meint A, B oder beide. Ein Komplement ist nur zusammen mit einer Grundmenge eindeutig. Wenn \Omega=\{1,2,3,4,5,6\} und A=\{2,4,6\} gilt, dann ist \overline{A}=\{1,3,5\}.
Definition
Mengenoperationen
Schnittmenge A\cap B: Elemente, die in A und in B liegen. Vereinigung A\cup B: Elemente, die in A, in B oder in beiden liegen. Komplement \overline{A}: alle Elemente der Grundmenge, die nicht in A liegen. Differenz A\setminus B: Elemente aus A, die nicht in B liegen. Symmetrische Differenz A\mathbin{\Delta}B: Elemente, die in genau einer der beiden Mengen liegen. Leere Menge \varnothing: eine Menge ohne Elemente.
Beispiel: Mengenoperationen für A=\{2,3,c,d\} und B=\{3,7,a,b,c\}
- 1A\cap B=\{3,c\}
- 2A\cup B=\{2,3,7,a,b,c,d\}
- 3A\setminus B=\{2,d\}
- 4A\mathbin{\Delta}B=\{2,7,a,b,d\}
- 5In A\mathbin{\Delta}B fehlen die gemeinsamen Elemente 3 und c.
Teste dich
Für zwei Mengen genügen meist zwei überlappende Kreise in einem Rechteck. Beschrifte zuerst Grundmenge und Kreise. Ordne dann die Elemente ein. Trage zuerst die gemeinsamen Elemente in die Überlappung ein. Trage danach die Elemente ein, die nur zu einer Menge gehören. Setze Elemente, die zu keiner der Mengen gehören, außerhalb der Kreise, aber innerhalb des Rechtecks. Prüfe, ob jedes Element genau einmal eingetragen ist. Bei drei Mengen gibt es acht mögliche Bereiche. Der Grund: Für jede der drei Mengen gibt es zwei Möglichkeiten – ein Element gehört dazu oder nicht. Daher entstehen 2^3=8 Mitgliedschaftsmuster.
Beispiel: Würfel: \Omega=\{1,2,3,4,5,6\}
- 1A=\{2,4,6\}: gerade Ergebnisse
- 2B=\{4,5,6\}: Ergebnisse von 4 bis 6
- 3Zuerst die Überlappung: A\cap B=\{4,6\}
- 4Nur A: \{2\}, nur B: \{5\}
- 5Außerhalb beider Kreise: \{1,3\}
Merke: Bei drei Mengen trägst du zuerst den Dreifachschnitt ein, danach die Bereiche, die zu jeweils genau zwei Mengen gehören. So überschreibst oder zählst du gemeinsame Elemente nicht versehentlich doppelt.
Teste dich
Ein Venn-Diagramm hilft besonders bei Aufgaben mit „mindestens eine der beiden Eigenschaften“. Addierst du die Größen beider Mengen, zählst du jedes Element der Schnittmenge zweimal. Deshalb ziehst du den Schnitt einmal ab. |A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B| Venn oder Euler? Ein Venn-Diagramm zeigt alle möglichen Überlappungsbereiche, auch wenn manche leer sind. Ein Euler-Diagramm zeigt nur die Beziehungen, die tatsächlich vorkommen. Venn-Diagramme eignen sich deshalb gut, wenn du keinen möglichen Bereich übersehen möchtest. Bei mehr als drei Mengen wird die Darstellung schnell unübersichtlich. Außerdem ersetzt die Zeichnung nicht die Begründung oder Rechnung: Sie ordnet die Beziehungen und unterstützt dein Denken.
Beispiel: Dame oder Herz aus 52 Karten
- 14 Damen und 13 Herzen, die Herzdame ist beides
- 24+13=17 zählt die Herzdame doppelt.
- 34+13-1=16 Karten sind Dame oder Herz.
- 4Wahrscheinlichkeit: \frac{16}{52}=\frac{4}{13}
Teste dich
Alles auf einen Blick
Venn-Diagramm
Aufbau
Rechteck als Grundmenge, geschlossene Formen als Mengen, Überlappung für gemeinsame Elemente
Mengenoperationen
und bedeutet Schnitt, oder bedeutet Vereinigung, nicht bedeutet Komplement, nur A bedeutet Differenz
Vorgehen
gemeinsame Bereiche zuerst eintragen und jedes Element genau einem Bereich zuordnen
Zählen
bei der Vereinigung den doppelt gezählten Schnitt einmal abziehen
Grenzen
Flächengröße hat ohne Zahlen keine Mengenbedeutung und viele Mengen werden unübersichtlich
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
28 Kinder: 12 spielen ein Instrument, 15 Sport im Verein, 5 beides. Wie viele machen keins?
- 1In die Überlappung kommen die 5 Kinder mit beidem.
- 2Nur Instrument: 12-5=7
- 3Nur Sport: 15-5=10
- 4Mindestens eins: 7+5+10=22
- 5Keins von beiden: 28-22=6 Kinder
Fehler finden
Haustier oder Geschwisterkind? In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3Die 9 Kinder mit beidem wurden doppelt gezählt. Richtig ist 14+20-9=25 Kinder.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Die Überlappung zweier Kreise zeigt die . Das mathematische „oder“ schließt „beide“ . Für die Anzahl von A\cup B ziehst du den Schnitt einmal .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback