Mathematik · Klasse 8–9 · aktualisiert
Intervalle: Schreibweisen und Mengenoperationen
Intervalle beschreiben lückenlose Zahlenbereiche. Du lernst die Klammerschreibweise, den Wechsel zu Ungleichungen sowie Schnitt und Vereinigung.
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Kurz gesagt
Ein Intervall ist ein lückenloser Bereich auf der Zahlengeraden, zum Beispiel [2;5] für alle reellen Zahlen von 2 bis 5. Eine eckige Klammer heißt: Der Randwert gehört dazu (\le). Eine runde Klammer heißt: Er gehört nicht dazu (\lt). Bei \infty steht immer eine runde Klammer.
Ein Intervall ist ein lückenloser Bereich auf der Zahlengeraden. An den Klammern erkennst du, ob die Randwerte dazugehören. So kannst du dieselbe Menge als Intervall, Ungleichung, Mengenschreibweise oder auf der Zahlengeraden darstellen.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Stell dir alle reellen Zahlen von 2 bis 5 vor. Zu diesem Bereich gehören nicht nur 2, 3, 4 und 5, sondern zum Beispiel auch 2{,}4, \sqrt{10} und jede andere reelle Zahl dazwischen. Ein Intervall hat also keine Lücken. Die Schreibweise [2;5] nennt die untere Grenze 2 und die obere Grenze 5. Die eckigen Klammern zeigen: Beide Grenzen sind enthalten. Manche Bücher trennen die Grenzen mit einem Komma, also [2,5]. Das Semikolon verhindert, dass du die Grenzen mit der Dezimalzahl 2{,}5 verwechselst. Eine eckige Klammer an einer endlichen Grenze bedeutet: Der Randwert gehört dazu. Eine runde Klammer bedeutet: Der Randwert gehört nicht dazu. Bei einem halboffenen Intervall ist genau eine Grenze enthalten. Der Name sagt, welche Seite offen ist: [a;b) ist rechts offen, (a;b] ist links offen. Manchmal findest du statt runder Klammern nach außen gerichtete eckige Klammern: ]a;b[ bedeutet dasselbe wie (a;b), und [a;b[ bedeutet dasselbe wie [a;b). Achte auf die Seite: Bei [2;8) ist die rechte Seite offen, die 2 gehört dazu, die 8 nicht.
Definition
Intervall
Ein Intervall ist eine lückenlose Teilmenge einer geordneten Zahlenmenge. Auf dieser Seite ist die Grundmenge \mathbb R. Liegen zwei Zahlen im Intervall, dann liegen auch alle reellen Zahlen zwischen ihnen darin.
| Art | Intervall | Bedingung | Enthaltene Grenzen |
|---|---|---|---|
| abgeschlossen | [a;b] | a\le x\le b | a und b |
| offen | (a;b) | a\lt x\lt b | keine |
| rechtsoffen | [a;b) | a\le x\lt b | nur a |
| linksoffen | (a;b] | a\lt x\le b | nur b |
Merke: Eckige Klammer \leftrightarrow Randwert enthalten \leftrightarrow Zeichen \le oder \ge. Runde Klammer \leftrightarrow Randwert ausgeschlossen \leftrightarrow Zeichen \lt oder \gt.
Teste dich
Eine Intervallmenge lässt sich auf drei gleichwertige Arten ausdrücken: [-2;6)=\{x\in\mathbb R\mid -2\le x\lt6\}. Die Intervallschreibweise ist kurz. Die Ungleichung zeigt die Bedingungen an x. Die Mengenschreibweise liest du so: „Alle reellen Zahlen x, für die -2\le x\lt6 gilt.“ Auf der Zahlengeraden gilt: Ein ausgefüllter Punkt bei einer Grenze bedeutet: Die Grenze ist enthalten. Ein offener Kreis bedeutet: Die Grenze ist ausgeschlossen. Die durchgehende Linie zwischen den Grenzen zeigt alle enthaltenen Zahlen. Für [-2;6) beschreibst du die Darstellung daher auch ohne Bild eindeutig: ausgefüllter Punkt bei -2, offener Kreis bei 6, durchgehende Linie dazwischen. Löst du eine Ungleichung mit Äquivalenzumformungen, schreibst du ihre Lösungsmenge oft als Intervall.
Beispiel: 1\lt x\le7 als Intervall schreiben
- 1Bei 1 steht \lt: Grenze ausgeschlossen, runde Klammer
- 2Bei 7 steht \le: Grenze enthalten, eckige Klammer
- 3Intervall: (1;7]
- 4Zahlengerade: offener Kreis bei 1, ausgefüllter Punkt bei 7, Linie dazwischen
Beispiel: (-2;6] lesen
- 1-2 ist ausgeschlossen, 6 ist enthalten
- 2Ungleichung: -2\lt x\le6
- 3Linksoffen und rechts abgeschlossen
Teste dich
Ein Intervall kann in eine Richtung unbegrenzt weiterlaufen. Dafür stehen -\infty und \infty. Sie bezeichnen keine reellen Zahlen und können deshalb niemals zum Intervall gehören. Bei ihnen steht immer eine runde, offene Klammer. Alle reellen Zahlen bilden das beidseitig unbeschränkte Intervall (-\infty;\infty)=\mathbb R. Schreibweisen wie [3;\infty] sind deshalb falsch, richtig ist [3;\infty).
| Intervall | Mengenschreibweise | Beschreibung auf der Zahlengeraden |
|---|---|---|
| (-\infty;b] | \{x\in\mathbb R\mid x\le b\} | Strahl nach links, ausgefüllter Punkt bei b |
| (-\infty;b) | \{x\in\mathbb R\mid x\lt b\} | Strahl nach links, offener Kreis bei b |
| [a;\infty) | \{x\in\mathbb R\mid x\ge a\} | ausgefüllter Punkt bei a, Strahl nach rechts |
| (a;\infty) | \{x\in\mathbb R\mid x\gt a\} | offener Kreis bei a, Strahl nach rechts |
Beispiel: x\ge3 als Intervall schreiben
- 1Alle reellen Zahlen ab 3, die 3 eingeschlossen
- 2Intervall: [3;\infty)
- 3Zahlengerade: ausgefüllter Punkt bei 3, Strahl nach rechts
Teste dich
Mit der Schnittmenge A\cap B suchst du alle Zahlen, die gleichzeitig in A und in B liegen. Mit der Vereinigungsmenge A\cup B sammelst du alle Zahlen, die in mindestens einem der beiden Intervalle liegen. Die Schnittmenge ist auf der Zahlengeraden die Überlappung. Überlappen oder berühren sich zwei Bereiche ohne Lücke, lässt sich auch die Vereinigung als ein Intervall schreiben.
Beispiel: [-2;3)\cap(1;5] bestimmen
- 1Überlappung: Zahlen zwischen 1 und 3
- 2Die 1 fehlt im zweiten Intervall, also auch im Schnitt
- 3Die 3 fehlt im ersten Intervall, also auch im Schnitt
- 4[-2;3)\cap(1;5]=(1;3)
Beispiel: (-\infty;2]\cup(0;4) bestimmen
- 1Die Bereiche überlappen sich zwischen 0 und 2
- 2Zusammen: alle Zahlen kleiner als 4, die 4 bleibt ausgeschlossen
- 3(-\infty;2]\cup(0;4)=(-\infty;4)
- 4Anders bei [-3;-1]\cup(2;5]: Zwischen -1 und 2 bleibt eine Lücke, es ist kein einzelnes Intervall
Merke: Ein Randwert gehört zur Schnittmenge nur, wenn er in beiden Intervallen liegt. Für die Vereinigung reicht es, wenn er in mindestens einem liegt.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Intervalle
Grenzen
eckig enthalten, rund ausgeschlossen
Arten
offen, abgeschlossen, halboffen, unbeschränkt
Darstellungen
Klammern, Ungleichung, Mengenschreibweise, Zahlengerade
Verknüpfungen
Schnittmenge als Überlappung, Vereinigung als Zusammenfassung
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
[-1;4)\cap(2;7] und [-1;4)\cup(2;7] bestimmen
- 1Überlappung: Zahlen zwischen 2 und 4
- 2Die 2 fehlt in (2;7], die 4 fehlt in [-1;4)
- 3Schnitt: [-1;4)\cap(2;7]=(2;4)
- 4Die Bereiche überlappen, die Vereinigung hat keine Lücke
- 5Vereinigung: [-1;4)\cup(2;7]=[-1;7]
Fehler finden
[1;5)\cap[3;8] bestimmen In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3Für die Schnittmenge muss ein Randwert in beiden Intervallen liegen. Die 5 fehlt in [1;5), also gehört sie nicht dazu: [1;5)\cap[3;8]=[3;5).
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Das Intervall (-4;9] entspricht der Bedingung -4 x und x 9. Bei -4 steht auf der Zahlengeraden ein , bei 9 ein ausgefüllter Punkt.
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback