Mathematik · Klasse 8 · aktualisiert
Faktorisieren: Terme sicher in Produkte umformen
Faktorisieren macht aus einer Summe ein Produkt. Du lernst Ausklammern, binomische Formeln rückwärts und das Lösen mit dem Nullprodukt.
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Kurz gesagt
Faktorisieren heißt, eine Summe oder Differenz in ein Produkt umzuwandeln. Dazu klammerst du einen gemeinsamen Faktor aus, etwa x^2 + 3x = x(x + 3), oder liest eine binomische Formel rückwärts, etwa a^2 - b^2 = (a + b)(a - b). Durch Ausmultiplizieren prüfst du das Ergebnis.
Faktorisieren bedeutet: Du verwandelst eine Summe oder Differenz in ein Produkt. Dazu klammerst du einen gemeinsamen Faktor aus oder liest eine passende binomische Formel rückwärts. Durch Ausmultiplizieren prüfst du dein Ergebnis. Und mit der Produktform kannst du manche Gleichungen ganz ohne Formel lösen.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Siehst du in jedem Summanden dieselbe Zahl, dieselbe Variable oder beides? Dann kannst du diesen gemeinsamen Faktor vor eine Klammer ziehen. Grundlage ist das Distributivgesetz: a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c) Beim Faktorisieren liest du diese Gleichung von links nach rechts. Beim Ausmultiplizieren gehst du zurück. Klammere möglichst viel aus: die größte gemeinsame Zahl und jede Variable, die in allen Summanden steckt.
Definition
Faktorisieren
Faktorisieren heißt, eine Summe oder Differenz als Produkt zu schreiben. Die Umkehrung heißt Ausmultiplizieren.
Beispiel: 6x^3 + 2x^2 + 4x faktorisieren
- 1Größte gemeinsame Zahl von 6, 2 und 4: 2
- 2In jedem Summanden steckt mindestens ein x, also klammerst du 2x aus.
- 3Jeden Summanden durch 2x teilen: 3x^2, x und 2
- 46x^3 + 2x^2 + 4x = 2x(3x^2 + x + 2)
- 5Probe: 2x \cdot 3x^2 + 2x \cdot x + 2x \cdot 2 = 6x^3 + 2x^2 + 4x
Merke: Was vor der Klammer steht, muss beim Ausmultiplizieren jeden Summanden in der Klammer treffen.
Teste dich
Manche Terme passen zu den Summen- oder Differenzseiten der drei binomischen Formeln. Rückwärts gelesen entstehen Produkte: a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2 a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2 a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) Für die erste oder zweite Formel reichen zwei äußere Quadrate allein nicht. Der mittlere Summand muss genau 2ab oder -2ab sein. Sein Vorzeichen entscheidet, ob in der Klammer Plus oder Minus steht.
Beispiel: 4x^2 + 4xy + y^2 faktorisieren
- 14x^2 = (2x)^2, also a = 2x
- 2y^2 ist das zweite Quadrat, also b = y
- 3Kontrolle: 2ab = 2 \cdot 2x \cdot y = 4xy, der Mittelterm passt.
- 4Alles Plus: erste binomische Formel
- 54x^2 + 4xy + y^2 = (2x + y)^2
Beispiel: Wenn der Mittelterm nicht passt: 4r^2 + 6rs + 9s^2
- 1Äußere Quadrate: 4r^2 = (2r)^2 und 9s^2 = (3s)^2
- 2Nötiger Mittelterm: 2 \cdot 2r \cdot 3s = 12rs
- 3Im Term steht aber 6rs. Deshalb passt keine binomische Formel.
Teste dich
Gehe immer in derselben Reihenfolge vor. Zuerst suchst du einen gemeinsamen Faktor. Danach schaust du, ob eine binomische Formel passt: Bei drei Summanden prüfst du die äußeren Quadrate und den Mittelterm \pm 2ab, bei zwei Summanden eine Differenz zweier Quadrate. Zum Schluss machst du die Probe: Die Produktform muss ausmultipliziert genau den Ausgangsterm ergeben. Manchmal brauchst du beide Verfahren nacheinander, zum Beispiel erst Ausklammern und dann eine binomische Formel.
| Schritt | Frage | Beispiel |
|---|---|---|
| 1. Ausklammern | Steckt in allen Summanden derselbe Faktor? | x^2 + 3x = x(x + 3) |
| 2. Drei Summanden | Zwei Quadrate und passt der Mittelterm \pm 2ab? | a^2 - 12a + 36 = (a - 6)^2 |
| 3. Zwei Summanden | Liegt eine Differenz zweier Quadrate vor? | 4 - z^2 = (2 + z)(2 - z) |
| 4. Probe | Ergibt das Ausmultiplizieren den Ausgangsterm? | x(x + 3) = x^2 + 3x |
Beispiel: 49 - 81x^2 faktorisieren
- 1Kein gemeinsamer Faktor außer 1
- 2Zwei Quadrate mit Minus: 49 = 7^2 und 81x^2 = (9x)^2
- 3Dritte binomische Formel: 49 - 81x^2 = (7 + 9x)(7 - 9x)
- 4Probe: (7 + 9x)(7 - 9x) = 49 - 63x + 63x - 81x^2 = 49 - 81x^2
Teste dich
Warum ist die Produktform nützlich? Ein Produkt ist genau dann 0, wenn mindestens einer seiner Faktoren 0 ist. Das heißt Satz vom Nullprodukt. Steht auf einer Seite der Gleichung ein Produkt und auf der anderen 0, setzt du jeden Faktor einzeln gleich 0. So bekommst du alle Lösungen.
Beispiel: x^2 + 3x = 0 lösen
- 1x ausklammern: x(x + 3) = 0
- 2Jeden Faktor gleich 0 setzen: x = 0 oder x + 3 = 0
- 3Aus x + 3 = 0 folgt x = -3.
- 4Lösungen: x = 0 und x = -3
Merke: Der Satz vom Nullprodukt gilt nur für ein Produkt. Eine Summe wie x^2 + 3x musst du deshalb zuerst faktorisieren.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Faktorisieren
Idee
aus einer Summe oder Differenz wird ein Produkt
Ausklammern
gemeinsamen Faktor suchen und jeden Summanden durch ihn teilen
Binomische Formeln rückwärts
äußere Quadrate und Mittelterm \pm 2ab prüfen
Vorzeichen
das Minus im Mittelterm führt zu (a - b)^2
Probe
die Produktform ausmultiplizieren
Nullprodukt
erst faktorisieren, dann jeden Faktor gleich 0 setzen
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
3x^2 - 12 vollständig faktorisieren
- 1Gemeinsamer Faktor: 3 steckt in 3x^2 und in 12.
- 23x^2 - 12 = 3(x^2 - 4)
- 3In der Klammer steht eine Differenz zweier Quadrate: x^2 - 4 = x^2 - 2^2
- 43x^2 - 12 = 3(x + 2)(x - 2)
- 5Probe: 3(x + 2)(x - 2) = 3(x^2 - 4) = 3x^2 - 12
Fehler finden
25x^2 - 20x + 4 faktorisieren In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 4Das Vorzeichen des Mittelterms wurde übersehen. Er ist -20x, also passt die zweite binomische Formel: 25x^2 - 20x + 4 = (5x - 2)^2.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Beim Ausklammern suchst du einen . Bei drei Summanden kontrollierst du für ein binomisches Quadrat besonders den . Eine Faktorisierung prüfst du durch .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback