Binomische Formeln einfach erklärt und angewendet

Ein Binom ist ein Ausdruck aus zwei Teilen, zum Beispiel x+3 oder 2a-5b. Die Buchstaben a und b in den Formeln können deshalb auch für zusammengesetzte Terme wie 3x stehen. Warum entsteht in der ersten Formel der Mittelterm 2ab? Schreibe das Quadrat als Produkt und multipliziere jeden Term mit jedem: (a+b)(a+b) = a^2 + ab + ab + b^2. Bei (a-b)^2 entstehen zwei negative gemischte Produkte, das letzte Produkt (-b) \cdot (-b) ist dagegen positiv. Bei (a+b)(a-b) heben sich -ab und +ab gegenseitig auf. Jede Formel hat auch eine eigene Seite: 1. binomische Formel, 2. binomische Formel und 3. binomische Formel.

Gehe immer in drei Schritten vor. Bestimme zuerst die vollständigen Teilausdrücke a und b. Setze sie dann mit Klammern in die passende Formel ein. Berechne zum Schluss Quadrate und Produkte und kontrolliere die Vorzeichen. Die dritte Formel hilft auch beim Kopfrechnen, wenn zwei Faktoren gleich weit von einer runden Zahl entfernt sind.

Faktorisieren bedeutet, eine Summe oder Differenz als Produkt zu schreiben. Dazu vergleichst du den Term mit der rechten Seite einer binomischen Formel. Bei drei Termen prüfst du: Sind der erste und der letzte Term Quadrate? Ist der Mittelterm das doppelte Produkt ihrer Grundterme? Passt das Vorzeichen zur Plus- oder Minusformel? Nicht jeder Term mit drei Gliedern ist ein Binomquadrat. Erst wenn beide Außenterme Quadrate sind und der Mittelterm genau \pm 2ab ist, darfst du die erste oder zweite Formel rückwärts verwenden. Eine Differenz aus genau zwei Quadraten zerlegst du mit der dritten Formel.

Manchmal fehlt einem Term der letzte Bestandteil eines Binomquadrats. Bei der quadratischen Ergänzung bestimmst du den zweiten Binomteil aus dem Mittelterm und ergänzt anschließend sein Quadrat. Betrachte das Muster a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2. Kennst du a und den Mittelterm -2ab, kannst du b bestimmen.