Standardabweichung berechnen und richtig deuten

Zwei Datenreihen können denselben Mittelwert haben und trotzdem ganz verschieden aussehen. Liegen die Werte dicht am Mittelwert, ist ihre Streuung gering. Liegen sie weit auseinander, ist ihre Streuung groß. Warum werden die Abweichungen quadriert? Die Abweichungen oberhalb und unterhalb des Mittelwerts haben verschiedene Vorzeichen. Ohne Quadrieren würden sie sich gegenseitig aufheben. Durch das Quadrieren werden alle Beiträge nicht negativ und große Abstände zählen stärker. Eine Standardabweichung ist nicht für sich allein „klein“ oder „groß“. Du musst sie im Zusammenhang mit der Größe der Werte und ihrem möglichen Wertebereich beurteilen.

Für eine vollständig erfasste Datenmenge mit n Werten verwendest du den Mittelwert \bar{x} und berechnest: \operatorname{Var}=\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}{n}, \qquad \sigma=\sqrt{\operatorname{Var}} Dabei ist x_i ein einzelner Wert, \Sigma das Summenzeichen und \sigma das Formelzeichen der Standardabweichung. Verwechsle das große \Sigma nicht mit dem kleinen \sigma. Gehe so vor: Berechne den Mittelwert \bar{x}. Bilde für jeden Wert die Abweichung x_i-\bar{x} und quadriere sie. Addiere die Quadrate und teile durch n: Das ist die Varianz. Ziehe die Quadratwurzel: Das ist die Standardabweichung. Das einfache Mittel der Abweichungen mit Vorzeichen wäre immer 0. Die Standardabweichung ist deshalb die Wurzel aus dem Mittel der quadrierten Abweichungen. Prüfe am Ende: Passt die Einheit? Ist das Ergebnis nicht negativ?

Bei einer diskreten Zufallsvariable kommen mögliche Werte x_i mit Wahrscheinlichkeiten p_i vor. Der Bezugspunkt ist dann der Erwartungswert \mu=E(X). \operatorname{Var}(X)=\sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)^2p_i \sigma=\sqrt{\operatorname{Var}(X)} Die Wahrscheinlichkeit wirkt wie ein Gewicht: Ein möglicher Wert trägt umso stärker zur Varianz bei, je wahrscheinlicher er ist und je weiter er vom Erwartungswert entfernt liegt. Zum Vergleich: Die Verteilung mit den Werten 0{,}5, 1 und 1{,}5 sowie den Wahrscheinlichkeiten 0{,}4, 0{,}2 und 0{,}4 hat wie das Beispiel unten den Erwartungswert 1. Ihre Varianz beträgt aber nur 0{,}2 und ihre Standardabweichung ungefähr 0{,}45. Die Werte liegen enger um 1.

Die Division durch n passt, wenn du die vollständig vorliegende Datenmenge beschreibst. Möchtest du dagegen aus einer Stichprobe die Streuung einer größeren Grundgesamtheit schätzen, wird die Summe der quadrierten Abweichungen durch n-1 geteilt: s=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}{n-1}} Das Formelzeichen s kennzeichnet hier die aus einer Stichprobe berechnete Standardabweichung zur Schätzung der Populationsstreuung. Eine korrekt berechnete Standardabweichung macht eine schlecht geplante Stichprobe nicht automatisch aussagekräftig. Wenn bestimmte Gruppen fehlen oder die Auswahl verzerrt ist, kann auch die Schätzung verzerrt sein.