Mathematik · Klasse 12 · aktualisiert
Stammfunktion bilden: Regeln und Beispiele
Eine Stammfunktion macht das Ableiten rückgängig. Du lernst die Potenzregel, die wichtigsten Grundstammfunktionen und die Probe durch Ableiten.
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Kurz gesagt
Eine Stammfunktion F von f ist eine Funktion mit F'(x)=f(x). Für Potenzen gilt \int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C mit n\ne-1: Zu x^2 gehört also \frac{1}{3}x^3+C. Die Konstante C ist beliebig, weil sie beim Ableiten wegfällt.
Eine Stammfunktion macht das Ableiten rückgängig: F ist eine Stammfunktion von f, wenn F'(x)=f(x) gilt. Ist F auf einem Intervall eine Stammfunktion von f, dann sind dort auch alle Funktionen der Form F(x)+C Stammfunktionen.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Beim Ableiten gehst du von F zu f. Beim Integrieren suchst du den umgekehrten Weg: F \xrightarrow{\text{Ableiten}} f f \xrightarrow{\text{Integrieren}} F Zum Beispiel ist F(x)=x^2 eine Stammfunktion von f(x)=2x, denn (x^2)'=2x. Aber auch x^2+3, x^2-7 und x^2+C haben die Ableitung 2x. Deshalb bezeichnet \int f(x)\,dx=F(x)+C die ganze Familie der Stammfunktionen auf einem Intervall. Dieser Ausdruck heißt unbestimmtes Integral. C ist die Integrationskonstante.
Definition
Stammfunktion
Eine Funktion F heißt Stammfunktion von f, wenn ihre Ableitung genau f ergibt: F'(x)=f(x).
Merke: Wird die Menge aller Stammfunktionen auf einem Intervall gesucht, darf +C nicht fehlen. Eine einzelne Stammfunktion erhältst du beispielsweise mit C=0.
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Für eine Potenz x^n erhöhst du den Exponenten um 1 und teilst durch diesen neuen Exponenten: \int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,\qquad n\ne -1 Die Regel gilt auch für konstante Funktionen: Du kannst 5 als 5x^0 auffassen, also ist \int 5\,dx=5x+C. Brüche und Wurzeln schreibst du zuerst als Potenzen. Der Exponent n=-1 bleibt ausgeschlossen, weil sonst durch 0 geteilt würde. Bei einer Summe oder Differenz integrierst du jedes Glied einzeln. Ein konstanter Faktor bleibt dabei erhalten. Du brauchst am Ende nur eine gemeinsame Konstante C.
Beispiel: Stammfunktionen von f(x)=x^2
- 1Exponent um 1 erhöhen: aus 2 wird 3
- 2Durch den neuen Exponenten 3 teilen und +C ergänzen
- 3F(x)=\frac{1}{3}x^3+C
- 4Probe: F'(x)=\frac{1}{3}\cdot 3x^2=x^2
Beispiel: Stammfunktionen von f(x)=6x^2+5x
- 1\int 6x^2\,dx=6\cdot\frac{x^3}{3}=2x^3
- 2\int 5x\,dx=5\cdot\frac{x^2}{2}=2{,}5x^2
- 3F(x)=2x^3+2{,}5x^2+C
- 4Probe: F'(x)=6x^2+5x
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Einige Funktionen erkennst du direkt aus bekannten Ableitungen. Achte beim Sinus auf das Minuszeichen: Die Ableitung von -\cos(x) ist \sin(x). Der Ausdruck 1/x=x^{-1} ist der Ausnahmefall der Potenzregel. Auf jedem Intervall, das 0 nicht enthält, verwendest du stattdessen den natürlichen Logarithmus: \int \frac{1}{x}\,dx=\ln\lvert x\rvert+C Bei einer linearen Veränderung im Exponenten musst du den inneren Faktor ausgleichen, zum Beispiel \int e^{3x-2}\,dx=\frac{1}{3}e^{3x-2}+C. Beim Ableiten entsteht durch den Exponenten 3x-2 der Faktor 3, der den Faktor \frac{1}{3} aufhebt.
| Funktion f(x) | Alle Stammfunktionen |
|---|---|
| 1 | x+C |
| e^x | e^x+C |
| \sin(x) | -\cos(x)+C |
| \cos(x) | \sin(x)+C |
| 1/x auf einem Intervall ohne 0 | \ln\lvert x\rvert+C |
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Der Funktionswert f(x) ist die Steigung der Stammfunktion F an derselben Stelle. Ist f(x)>0, steigt F. Ist f(x)<0, fällt F. Ist f(x)=0, hat F dort eine waagerechte Tangente. Wechselt f an einer Nullstelle das Vorzeichen, besitzt F dort einen Hoch- oder Tiefpunkt. Auch in Sachzusammenhängen ist diese Beziehung wichtig: Beschreibt f eine Änderungsrate, dann beschreibt eine Stammfunktion F den dazugehörigen Bestand bis auf einen konstanten Anfangswert.
| Graph von f | Graph von F |
|---|---|
| f(x)>0 | F steigt |
| f(x)<0 | F fällt |
| Vorzeichenwechsel von + nach − | Hochpunkt von F |
| Vorzeichenwechsel von − nach + | Tiefpunkt von F |
Merke: Die Konstante C verschiebt den Graphen von F nur nach oben oder unten. Form und Steigungen bleiben gleich.
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Alles auf einen Blick
Stammfunktion
Erkennungsmerkmal
F'(x)=f(x)
Familie
auf einem Intervall alle F(x)+C
Potenzen und Summen
Exponent um 1 erhöhen, durch den neuen Exponenten teilen, gliedweise integrieren
Ausnahme
\frac{1}{x} hat auf Intervallen ohne 0 die Stammfunktion \ln\lvert x\rvert+C
Kontrolle
Ergebnis ableiten, es muss f(x) herauskommen
Graph
f gibt die Steigung von F an
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Stammfunktionen von f(x)=4x^3-6x+2
- 1\int 4x^3\,dx=4\cdot\frac{x^4}{4}=x^4
- 2\int 6x\,dx=6\cdot\frac{x^2}{2}=3x^2
- 3\int 2\,dx=2x
- 4F(x)=x^4-3x^2+2x+C
- 5Probe: F'(x)=4x^3-6x+2
Fehler finden
Stammfunktionen von f(x)=x^3+2x In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 2Geteilt wird durch den neuen Exponenten 4, nicht durch 3. Richtig ist \int x^3\,dx=\frac{x^4}{4}, also F(x)=\frac{1}{4}x^4+x^2+C.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Eine Stammfunktion F von f erfüllt . Beim Integrieren von x^n wird der Exponent um 1 . Zu \sin(x) gehört die Stammfunktion .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback