Mathematik · Klasse 12 · aktualisiert
Trigonometrische Gleichungen lösen
Gleichungen mit Sinus, Kosinus oder Tangens: Du lernst, alle Lösungen zu finden, sie auf ein Intervall einzuschränken und Fallen zu vermeiden.
0 von 13 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Eine trigonometrische Gleichung hat die Unbekannte im Argument von Sinus, Kosinus oder Tangens, zum Beispiel \cos x=0{,}5. Mit der Umkehrfunktion bestimmst du einen Ausgangswinkel und ergänzt die zweite Lösung und alle Wiederholungen: x=\pm\frac{\pi}{3}+2k\pi mit k\in\mathbb Z.
Eine trigonometrische Gleichung enthält die Unbekannte im Argument von Sinus, Kosinus oder Tangens. Du formst sie zuerst in eine Grundform um, bestimmst passende Winkel und ergänzt wegen der Periodizität alle Wiederholungen. Ist ein Intervall vorgegeben, behältst du nur die Lösungen darin.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
In einer trigonometrischen Gleichung steht die Unbekannte im Winkel, zum Beispiel in \cos x oder \sin(2x). Gesucht sind alle Winkel, die beide Seiten der Gleichung gleich machen. Achte vor dem Rechnen auf das Winkelmaß: Im Gradmaß wird eine volle Drehung als 360^\circ angegeben. Im Bogenmaß entspricht eine volle Drehung 2\pi. Sinus und Kosinus wiederholen sich nach 360^\circ beziehungsweise 2\pi. Tangens wiederholt sich bereits nach 180^\circ beziehungsweise \pi.
Definition
Trigonometrische Gleichung
Eine trigonometrische Gleichung ist eine Gleichung, in der die Unbekannte im Argument einer Winkelfunktion vorkommt. Beispiele sind \cos x=0{,}5, \sin x=0{,}702 und \cos x+\cos(2x)=1.
Teste dich
Die Umkehrfunktionen \arcsin, \arccos und \arctan liefern zunächst einen Ausgangswinkel. Dieser eine Wert genügt bei Sinus und Kosinus meist noch nicht: Symmetrie und Periodizität erzeugen weitere Lösungen. Prüfe zuerst, ob der Funktionswert möglich ist. Bei Sinus und Kosinus muss a zwischen -1 und 1 liegen. Der Tangens kann jeden reellen Wert annehmen. Für k\in\mathbb Z gelten im Bogenmaß diese Lösungsformen: Ist \sin x=a mit -1\leq a\leq1 und \alpha=\arcsin(a), dann gilt x=\alpha+2k\pi oder x=\pi-\alpha+2k\pi. Ist \cos x=a mit -1\leq a\leq1 und \alpha=\arccos(a), dann gilt x=\alpha+2k\pi oder x=-\alpha+2k\pi. Ist \tan x=a und \alpha=\arctan(a), dann gilt x=\alpha+k\pi. Dabei steht k\in\mathbb Z für jede ganze Zahl. So beschreibt eine kurze Formel unendlich viele periodische Lösungen. Bei besonderen Werten wie a=1 oder a=-1 können die beiden Sinus- oder Kosinusfamilien dieselben Winkel beschreiben.
Merke: Die Umkehrfunktion gibt einen Ausgangswinkel. Erst Symmetrie und Periodizität machen daraus die vollständige Lösungsmenge.
Beispiel: \cos x=0{,}5 für alle reellen x
- 1Ausgangswinkel: \alpha=\frac{\pi}{3}, denn \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)=0{,}5
- 2Erste Familie: x=\frac{\pi}{3}+2k\pi
- 3Zweite Familie: x=-\frac{\pi}{3}+2k\pi, k\in\mathbb Z
- 4Gleichwertig: x=\frac{5\pi}{3}+2k\pi
Teste dich
Eine allgemeine Lösungsfamilie beantwortet die Frage nach allen reellen Lösungen. Bei einem Intervall prüfst du anschließend, welche ganzzahligen Werte von k Winkel innerhalb der Grenzen liefern.
Beispiel: \cos x=0{,}5 im Intervall [0;2\pi]
- 1Familien: x=\frac{\pi}{3}+2k\pi und x=-\frac{\pi}{3}+2k\pi
- 2Erste Familie mit k=0: x=\frac{\pi}{3}
- 3Zweite Familie mit k=1: x=-\frac{\pi}{3}+2\pi=\frac{5\pi}{3}
- 4L=\left\{\frac{\pi}{3};\frac{5\pi}{3}\right\}
Teste dich
Viele Aufgaben sind nicht sofort eine Grundgleichung. Forme zuerst um, bis Sinus, Kosinus oder Tangens allein steht. Ergibt die Gleichung ein Produkt mit dem Wert null, setzt du die Faktoren nacheinander gleich null. Bei Potenzen können Ausklammern oder Substitution helfen. Bei \sin^2 x=c gilt: Für c<0 gibt es keine reelle Lösung. Für c\geq0 musst du beim Wurzelziehen beide Vorzeichen beachten: \sin x=\sqrt c oder \sin x=-\sqrt c. Ist außerdem c>1, liegen beide Werte außerhalb des Wertebereichs des Sinus und es gibt ebenfalls keine reelle Lösung. Prüfe nach einer Substitution immer den Wertebereich. Sinus und Kosinus können nur Werte von -1 bis 1 annehmen. Ein Ergebnis wie \sin x=-2 liefert daher keine reelle Lösung. Arbeite dabei in einer festen Reihenfolge: Grad- und Bogenmaß dürfen nicht vermischt werden, und am Ende prüfst du passende Werte von k und die Randpunkte.
Beispiel: \sin^2 x-\sin x=0 im Intervall [0;2\pi]
- 1Ausklammern: \sin x(\sin x-1)=0
- 2\sin x=0 liefert x=0, x=\pi und x=2\pi
- 3\sin x=1 liefert x=\frac{\pi}{2}
- 4L=\left\{0;\frac{\pi}{2};\pi;2\pi\right\}, die Randwerte zählen, weil das Intervall geschlossen ist
Merke: Reihenfolge: Winkelmaß und Intervall klären, umformen, alle Lösungsfamilien bestimmen, auf das Intervall einschränken und jeden Kandidaten in der Ausgangsgleichung prüfen.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Trigonometrische Gleichungen
Erkennen
Unbekannte im Winkel
Vorbereiten
Winkelmaß und Intervall klären
Umformen
Grundform, Nullprodukt oder Substitution
Lösen
Umkehrfunktion, Symmetrie und Periodizität
Auswählen
Lösungsfamilien auf das Intervall beschränken
Prüfen
Ausgangsgleichung und Wertebereich beachten
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
2\sin x=\sqrt3 im Intervall [0;2\pi]
- 1Durch 2 teilen: \sin x=\frac{\sqrt3}{2}
- 2Ausgangswinkel: \alpha=\arcsin\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)=\frac{\pi}{3}
- 3Zweite Sinuslösung: \pi-\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}
- 4Familien: x=\frac{\pi}{3}+2k\pi oder x=\frac{2\pi}{3}+2k\pi
- 5Im Intervall nur k=0: L=\left\{\frac{\pi}{3};\frac{2\pi}{3}\right\}
Fehler finden
\sin x=\frac{\sqrt2}{2} im Intervall [0;2\pi] In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 2Hier wurde die Regel für den Kosinus benutzt. Beim Sinus lautet die zweite Lösung \pi-\alpha: x=\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}, also L=\left\{\frac{\pi}{4};\frac{3\pi}{4}\right\}.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Bei \cos x=a liefert einen Ausgangswinkel. Wegen der entstehen Wiederholungen. Sinus und Kosinus nehmen nur Werte zwischen an.
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback