Urnenmodell: Vier Fälle sicher unterscheiden

Eine Urne steht für eine Menge möglicher Objekte oder Merkmale. Die Kugeln müssen nicht wirklich in einem Gefäß liegen: Sie können zum Beispiel Personen, Ziffern, Farben oder Würfelergebnisse darstellen. Entscheidend ist, ob die Kugeln individuelle Objekte oder nur Merkmale darstellen. Nummerierte Namenskugeln können einzelne Personen vertreten. Farbkugeln können dagegen Kategorien wie „rot“ und „schwarz“ darstellen.

Frage 1: Wird zurückgelegt? Mit Zurücklegen kommt die gezogene Kugel vor dem nächsten Zug zurück. Sie kann erneut gezogen werden, und vor jedem Zug sind wieder gleich viele Kugeln vorhanden. Ohne Zurücklegen bleibt die Kugel draußen. Sie kann nicht erneut gezogen werden, und nach jedem Zug befindet sich eine Kugel weniger in der Urne. Deshalb darf die Zahl der Ziehungen nicht größer als die anfängliche Kugelzahl sein. Frage 2: Zählt die Reihenfolge? Mit Reihenfolge sind verschiedene Anordnungen verschiedene Ergebnisse. Beim Zahlenschloss sind 1234 und 4321 unterschiedliche Codes. Ohne Reihenfolge zählt nur die Auswahl oder Verteilung. Beim Lotto ist es für die Auswahl gleichgültig, in welcher Reihenfolge die gezogenen Zahlen erschienen sind. Aus den beiden Antworten entstehen vier Fälle, die Tabelle zeigt je ein Beispiel.

Gehe bei jeder Situation in derselben Reihenfolge vor: Bestimme, was eine Kugel darstellt. Prüfe, ob dasselbe Objekt oder Merkmal mehrfach auftreten darf. Prüfe, ob eine andere Anordnung als anderes Ergebnis zählt. Benenne den passenden Grundfall. Beim geordneten Ziehen ohne Zurücklegen kannst du die Möglichkeiten schrittweise zählen. Werden bei einem Turnier aus 15 Gruppen die ersten drei Plätze vergeben, gibt es zunächst 15 Möglichkeiten, danach 14 und schließlich 13: 15\cdot14\cdot13=2730 Es gibt also 2730 mögliche Platzierungen. Jeder Faktor wird um eins kleiner, weil eine bereits platzierte Gruppe nicht erneut gewählt werden kann.

Beim Ziehen mit Zurücklegen wird der ursprüngliche Zustand vor jedem neuen Zug wiederhergestellt. Die Anteile der Kugelarten bleiben daher gleich. Beim Ziehen ohne Zurücklegen verändert jeder Zug die Zusammensetzung der Urne. Dadurch können sich auch die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ergebnisse ändern. Ein Baumdiagramm kann solche mehrstufigen Abläufe sichtbar machen: Jede Stufe steht für eine Ziehung, jeder Ast für ein mögliches Ergebnis. Für die Wahl des Urnenmodells genügt zunächst die Frage, ob sich die Urne nach einem Zug verändert. Ein Laplace-Modell liegt nur vor, wenn alle gewählten Elementarereignisse gleich wahrscheinlich sind. Eine ungeordnete Ergebnisliste erfüllt diese Voraussetzung nicht automatisch. Bei vier Würfeln kann die ungeordnete Angabe „vier gleiche Augenzahlen“ auf weniger geordnete Würfelfolgen zurückgehen als „vier verschiedene Augenzahlen“. Deshalb darfst du die beiden Angaben nicht einfach als gleich wahrscheinliche Elementarereignisse behandeln.