Reelle Zahlen: rational oder irrational erkennen

Vielleicht kennst du Zählzahlen, negative Zahlen, Brüche, Dezimalzahlen und Wurzeln. Sie gehören nicht zu getrennten Welten: Sie lassen sich in ineinanderliegenden Zahlenmengen ordnen. \mathbb N\subseteq\mathbb Z\subseteq\mathbb Q\subseteq\mathbb R Natürliche Zahlen \mathbb N sind Zählzahlen wie 1,2,3,\ldots. Je nach Vereinbarung zählt auch 0 dazu. Ganze Zahlen \mathbb Z sind natürliche Zahlen, ihre negativen Gegenzahlen und 0, zum Beispiel -4, 0 und 12. Rationale Zahlen \mathbb Q lassen sich als Bruch \frac pq mit ganzen Zahlen p und q\ne 0 schreiben. Reelle Zahlen \mathbb R umfassen alle rationalen und alle irrationalen Zahlen. Damit gilt: \mathbb R=\mathbb Q\cup(\mathbb R\setminus\mathbb Q) Die Menge \mathbb R\setminus\mathbb Q enthält die irrationalen Zahlen. Eine reelle Zahl ist also entweder rational oder irrational, niemals beides.

Der sicherste Test ist die Bruchdarstellung: Kannst du eine Zahl als \frac pq mit p,q\in\mathbb Z und q\ne0 schreiben, ist sie rational. Auch die Dezimaldarstellung hilft, wie die Tabelle zeigt. Periodisch bedeutet: Ab einer Stelle wiederholt sich immer derselbe Ziffernblock. Die Schreibweise mit Auslassungspunkten allein reicht nicht immer für eine Entscheidung. Bei 0{,}333\ldots muss klar sein, dass sich die 3 endlos wiederholt. Dann ist die Zahl periodisch und rational.

Jeder reellen Zahl entspricht genau ein Punkt auf der Zahlengeraden. Umgekehrt gehört zu jedem Punkt der Zahlengeraden genau eine reelle Zahl. Rationale Zahlen liegen zwar überall dicht: Zwischen zwei rationalen Zahlen findest du immer weitere rationale Zahlen. Trotzdem reichen sie nicht für jeden Punkt aus. Die reellen Zahlen schließen solche Lücken. Diese Eigenschaft heißt Vollständigkeit. Anschaulich bedeutet sie: Die reelle Zahlengerade hat keine fehlenden Zahlenpunkte. Wurzeln kannst du oft ohne Dezimalwert eingrenzen. Für \sqrt{10} vergleichst du 10 mit benachbarten Quadratzahlen: 3^2=9<10<16=4^2 Daraus folgt: 3<\sqrt{10}<4 Da 10 keine Quadratzahl ist, ist \sqrt{10} außerdem irrational.

Gehe in dieser Reihenfolge vor: Bruch prüfen: Ist die Zahl bereits ein Bruch aus ganzen Zahlen mit Nenner ungleich 0? Dezimaldarstellung prüfen: Ist sie endlich oder periodisch? Quadratwurzel prüfen: Bei \sqrt n mit natürlichem n ist das Ergebnis rational, wenn n eine Quadratzahl ist. Andernfalls ist es irrational. Bekannte irrationale Zahl erkennen: Dazu gehören etwa \pi und e. Kleinste passende Menge nennen: Zum Beispiel ist 3 natürlich, ganz, rational und reell. Die kleinste dieser Mengen ist \mathbb N. Nicht jede Wurzel ist irrational. Zum Beispiel gilt \sqrt9=3. Weil 9 eine Quadratzahl und 3 eine natürliche Zahl ist, ist \sqrt9 rational.