Mathematik · Klasse 8–9 · aktualisiert
Schnittpunkte berechnen: Methode und Beispiele
Schnittpunkte zweier Graphen findest du durch Gleichsetzen. Du lernst den Rechenweg, die Probe und die Sonderfälle bei Geraden.
0 von 11 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Einen Schnittpunkt zweier Funktionen berechnest du, indem du die Terme gleichsetzt: f(x)=g(x). Die Lösungen sind die x-Koordinaten. Setzt du sie in eine der Funktionen ein, erhältst du die y-Koordinaten. Beispiel: 2x-4=-x+5 ergibt x=3 und S(3 \mid 2).
Ein Schnittpunkt gehört zu zwei Funktionsgraphen. Deshalb haben beide Funktionen dort beim selben x-Wert denselben y-Wert. Rechnerisch setzt du die Funktionsterme gleich, löst nach x auf und berechnest anschließend y.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Ein Schnittpunkt ist ein gemeinsamer Punkt zweier Funktionsgraphen. Seine Koordinaten schreibst du als S(x \mid y): zuerst die x-Koordinate, dann die y-Koordinate. Liegt S(1 \mid 3) auf den Graphen von f(x)=2x+1 und g(x)=x+2, müssen beide Funktionen für x=1 den Wert 3 liefern: f(1)=2\cdot 1+1=3 und g(1)=1+2=3.
Definition
Schnittpunkt
Ein Schnittpunkt zweier Funktionsgraphen ist ein Punkt, dessen Koordinaten beide Funktionsgleichungen erfüllen. Daher gilt dort f(x)=g(x).
Merke: Gleicher Punkt bedeutet: gleicher x-Wert und gleicher Funktionswert.
Teste dich
Nutze immer dieselbe Grundfolge: Gleichsetzen mit f(x)=g(x), nach x lösen und alle reellen Lösungen bestimmen, y berechnen durch Einsetzen jedes x-Werts in eine der beiden Funktionen, Probe mit der anderen Funktion und zum Schluss den Punkt angeben als S(x \mid y). Für y darfst du die einfachere Funktion wählen, denn am Schnittpunkt liefern beide denselben Wert. Ein häufiger Fehler ist, nach der Berechnung von x aufzuhören: Ein Punkt braucht immer beide Koordinaten. Eine Zeichnung hilft beim Schätzen, exakte Koordinaten liefert erst die Rechnung.
Beispiel: Schnittpunkt von f(x)=2x-4 und g(x)=-x+5
- 1Gleichsetzen: 2x-4=-x+5
- 2Auf beiden Seiten x und 4 addieren: 3x=9
- 3x=3
- 4y-Wert: f(3)=2\cdot 3-4=2
- 5Probe: g(3)=-3+5=2
- 6Schnittpunkt S(3 \mid 2)
Teste dich
Lineare Funktionen haben die Form f(x)=mx+b. Dabei ist m die Steigung und b der y-Achsenabschnitt. Für zwei Geraden gibt es drei Fälle: Verschiedene Steigungen: Die Geraden besitzen genau einen Schnittpunkt. Gleiche Steigung, verschiedene Achsenabschnitte: Die Geraden sind parallel und besitzen keinen Schnittpunkt. Gleiche Steigung und gleicher Achsenabschnitt: Die Geraden sind identisch und besitzen unendlich viele gemeinsame Punkte. Beim Gleichsetzen erkennst du diese Fälle am Ergebnis: Eine Lösung wie x=3 führt zu genau einem Schnittpunkt. Eine falsche Aussage wie 2=5 bedeutet: keine Lösung. Eine immer wahre Aussage wie 0=0 bedeutet: unendlich viele Lösungen.
Beispiel: Gleichsetzen von f(x)=2x+2 und g(x)=2x+5
- 12x+2=2x+5 \quad \mid -2x
- 22=5, ein Widerspruch
- 3Gleiche Steigung, verschiedene Achsenabschnitte: Die Geraden sind parallel und haben keinen Schnittpunkt.
Teste dich
Bei nichtlinearen Funktionen kann die Gleichung f(x)=g(x) mehrere reelle Lösungen besitzen. Zu jeder Lösung berechnest du den zugehörigen y-Wert.
Beispiel: Schnittpunkte von f(x)=x und g(x)=x^2-4x+4
- 1Gleichsetzen: x=x^2-4x+4
- 2Auf eine Seite bringen: x^2-5x+4=0
- 3Faktorisieren: (x-1)(x-4)=0
- 4x_1=1 oder x_2=4
- 5y_1=f(1)=1 und y_2=f(4)=4
- 6S_1(1 \mid 1) und S_2(4 \mid 4)
Merke: Jede reelle Lösung der Gleichung f(x)=g(x) liefert eine x-Koordinate. Berechne für jede Lösung den passenden y-Wert.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Schnittpunkte berechnen
Bedeutung
gemeinsamer Punkt beider Graphen
Start
Funktionsterme gleichsetzen
Rechnung
alle reellen x-Lösungen bestimmen
Ergänzung
zu jedem x den y-Wert berechnen
Kontrolle
beide Funktionsgleichungen prüfen
Sonderfälle
ein, kein oder unendlich viele Schnittpunkte
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Schnittpunkte von f(x)=x^2-2 und g(x)=-x+4
- 1Gleichsetzen: x^2-2=-x+4
- 2Alles auf eine Seite: x^2+x-6=0
- 3Faktorisieren: (x+3)(x-2)=0
- 4x_1=-3 oder x_2=2
- 5y_1=g(-3)=3+4=7 und y_2=g(2)=-2+4=2
- 6Probe mit f: f(-3)=9-2=7 und f(2)=4-2=2
- 7S_1(-3 \mid 7) und S_2(2 \mid 2)
Fehler finden
Schnittpunkt von f(x)=3x-2 und g(x)=x+6 In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 2Das x wurde mit Plus statt mit Minus auf die linke Seite gebracht. Richtig ist 2x-2=6, also 2x=8, x=4 und S(4 \mid 10). Probe: f(4)=12-2=10=g(4).
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Am Schnittpunkt haben beide Funktionen für denselben x-Wert den y-Wert. Deshalb werden die Funktionsterme zuerst . Nach dem Lösen setzt du jeden gefundenen x-Wert in ein.
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback