Mathematik · Klasse 8–9 · aktualisiert
Rechtwinkliges Dreieck: Formeln und Beispiele
Ein rechtwinkliges Dreieck hat einen 90°-Winkel. Du lernst Katheten und Hypotenuse kennen, berechnest Umfang und Fläche und nutzt Pythagoras.
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Kurz gesagt
Ein rechtwinkliges Dreieck ist ein Dreieck mit genau einem Winkel von 90^\circ. Die beiden Seiten am rechten Winkel heißen Katheten, die längste Seite gegenüber heißt Hypotenuse. Es gilt der Satz des Pythagoras a^2+b^2=c^2, die Fläche ist A=\frac{a\cdot b}{2}.
Ein rechtwinkliges Dreieck besitzt genau einen Winkel von 90^\circ. Die beiden Seiten am rechten Winkel heißen Katheten; ihnen gegenüber liegt die Hypotenuse. Mit diesen Merkmalen kannst du das Dreieck erkennen, seinen Umfang und Flächeninhalt bestimmen sowie fehlende Seiten berechnen.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Ein rechtwinkliges Dreieck hat genau einen rechten Winkel. Er misst 90^\circ und wird in Zeichnungen häufig durch ein kleines Quadrat markiert. Suche deshalb zuerst den rechten Winkel: Die gegenüberliegende Seite ist die Hypotenuse, die beiden anliegenden Seiten sind die Katheten. Die Bezeichnungen Ankathete und Gegenkathete hängen dagegen davon ab, welchen spitzen Winkel du betrachtest. Die Hypotenuse bleibt immer dieselbe Seite. Die Innenwinkel jedes Dreiecks ergeben zusammen 180^\circ. Da ein Winkel bereits 90^\circ misst, ergänzen sich die beiden übrigen, spitzen Winkel ebenfalls zu 90^\circ.
Definition
Katheten
Die beiden Seiten, die den rechten Winkel einschließen, heißen Katheten. Sie werden häufig mit a und b bezeichnet.
Definition
Hypotenuse
Die Seite gegenüber dem rechten Winkel heißt Hypotenuse. Sie ist immer die längste Seite des rechtwinkligen Dreiecks und wird häufig mit c bezeichnet.
Beispiel: Ein spitzer Winkel misst 34^\circ. Wie groß ist der andere?
- 190^\circ-34^\circ=56^\circ
- 2Kontrolle: 90^\circ+34^\circ+56^\circ=180^\circ
Teste dich
Für den Umfang addierst du alle drei Seitenlängen: U=a+b+c Die beiden Katheten stehen senkrecht aufeinander. Deshalb kannst du sie als Grundseite und zugehörige Höhe verwenden. Für den Flächeninhalt gilt: A=\frac{a\cdot b}{2} Der Faktor \frac12 entsteht, weil zwei passende rechtwinklige Dreiecke ein Rechteck mit der Fläche a\cdot b bilden.
Beispiel: Gegeben sind a=20\,\mathrm{cm}, b=21\,\mathrm{cm} und c=29\,\mathrm{cm}.
- 1U=20\,\mathrm{cm}+21\,\mathrm{cm}+29\,\mathrm{cm}=70\,\mathrm{cm}
- 2Der Umfang beträgt 70\,\mathrm{cm}.
Beispiel: Gegeben sind a=13\,\mathrm{cm} und b=7{,}5\,\mathrm{cm}.
- 1A=\frac{13\,\mathrm{cm}\cdot7{,}5\,\mathrm{cm}}{2}=48{,}75\,\mathrm{cm}^2
- 2Der Flächeninhalt beträgt 48{,}75\,\mathrm{cm}^2. Beachte die quadratische Einheit.
Teste dich
Für jedes rechtwinklige Dreieck gilt der Satz des Pythagoras: a^2+b^2=c^2 Dabei müssen a und b die Katheten und c die Hypotenuse sein. Fehlt die Hypotenuse, addierst du die Kathetenquadrate und ziehst anschließend die Quadratwurzel. Fehlt eine Kathete, ziehst du das Quadrat der bekannten Kathete vom Hypotenusenquadrat ab und ziehst anschließend die Quadratwurzel.
Beispiel: Gegeben sind die Hypotenuse c=10\,\mathrm{cm} und die Kathete a=6\,\mathrm{cm}. Gesucht ist b.
- 1Zuerst setzt du die Werte ein:
- 26^2+b^2=10^2
- 3Dann stellst du nach b^2 um:
- 4b^2=10^2-6^2=100-36=64
- 5Nun ziehst du die Quadratwurzel:
- 6b=\sqrt{64}=8\,\mathrm{cm}
- 7Als Seitenlänge kommt nur die positive Lösung infrage. Die Kontrolle bestätigt das Ergebnis:
- 86^2+8^2=36+64=100=10^2
Beispiel: Eine 4\,\mathrm{m} lange Leiter lehnt an einer senkrechten Wand. Ihr Fuß steht 1{,}2\,\mathrm{m} von der Wand entfernt. Wand und Boden bilden den rechten Winkel; die Leiter ist die Hypotenuse.
- 1Für die Höhe h gilt:
- 2h^2=4^2-1{,}2^2=16-1{,}44=14{,}56
- 3h=\sqrt{14{,}56}\,\mathrm{m}\approx3{,}82\,\mathrm{m}
- 4Die Leiter berührt die Wand in etwa 3{,}82\,\mathrm{m} Höhe. Das Ergebnis ist plausibel, weil die Höhe kleiner als die 4\,\mathrm{m} lange Hypotenuse ist.
Teste dich
Kennst du alle drei Seiten, kannst du die Umkehrung des Satzes des Pythagoras verwenden: Bestimme die längste Seite und nenne sie c. Setze die beiden kürzeren Seiten als a und b ein. Prüfe, ob a^2+b^2=c^2 gilt. Stimmt die Gleichung, ist das Dreieck rechtwinklig. Stimmt sie nicht, ist es nicht rechtwinklig.
Beispiel: Ein Dreieck hat die Seitenlängen 5\,\mathrm{cm}, 12\,\mathrm{cm} und 13\,\mathrm{cm}. Die längste Seite ist 13\,\mathrm{cm}.
- 15^2+12^2=25+144=169
- 213^2=169
- 3Beide Seiten der Gleichung sind gleich. Das Dreieck ist daher rechtwinklig.
Merke: Den Satz des Pythagoras darfst du nur im rechtwinkligen Dreieck zum Berechnen nutzen. Sind drei Seiten gegeben, prüfst du zuerst mit der Umkehrung und wählst immer die längste Seite als c.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Rechtwinkliges Dreieck
Erkennen
genau ein Winkel von 90^\circ
Seiten
zwei Katheten und die Hypotenuse als längste Seite
Winkel
die beiden spitzen Winkel ergeben zusammen 90^\circ
Umfang und Fläche
U=a+b+c und A=\frac{a\cdot b}{2}
Pythagoras
a^2+b^2=c^2 liefert eine fehlende Seite
Prüfung
längste Seite als c wählen und Quadrate vergleichen
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Die Katheten sind 8 cm und 15 cm lang. Berechne Hypotenuse, Umfang und Fläche.
- 1c^2=8^2+15^2=64+225=289
- 2c=\sqrt{289}=17\,\mathrm{cm}
- 3U=8\,\mathrm{cm}+15\,\mathrm{cm}+17\,\mathrm{cm}=40\,\mathrm{cm}
- 4A=\frac{8\,\mathrm{cm}\cdot15\,\mathrm{cm}}{2}=60\,\mathrm{cm}^2
Fehler finden
Fehlende Kathete bei Hypotenuse 26 cm und Kathete 10 cm In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3Beim Umstellen muss 10^2 abgezogen werden: b^2=26^2-10^2=676-100=576, also b=24\,\mathrm{cm}.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Die Innenwinkelsumme eines Dreiecks beträgt . Im rechtwinkligen Dreieck misst ein Winkel . Deshalb ergeben die beiden spitzen Winkel zusammen .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback