Mathematik · Klasse 8–9 · aktualisiert
Satz des Pythagoras: Aufgaben einfach lösen
Mit dem Satz des Pythagoras berechnest du fehlende Seiten im rechtwinkligen Dreieck und prüfst, ob ein Dreieck einen rechten Winkel hat.
0 von 10 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Der Satz des Pythagoras sagt: Im rechtwinkligen Dreieck sind die Quadrate der beiden Katheten zusammen so groß wie das Quadrat der Hypotenuse, a^2+b^2=c^2. Die Hypotenuse c liegt dem rechten Winkel gegenüber. Du berechnest sie mit c=\sqrt{a^2+b^2}, eine Kathete mit a=\sqrt{c^2-b^2}.
Im rechtwinkligen Dreieck verbindet der Satz des Pythagoras die drei Seiten: Die Quadrate der beiden Katheten sind zusammen so groß wie das Quadrat der Hypotenuse. Kurz: a^2+b^2=c^2. Du lernst, die Seiten sicher zuzuordnen, eine fehlende Länge zu berechnen und mit drei gegebenen Seiten einen rechten Winkel zu prüfen.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Bevor du rechnest, suche den 90°-Winkel. Nur wenn das Dreieck rechtwinklig ist, darfst du den Satz des Pythagoras anwenden. Die Buchstaben sind nicht entscheidend: Heißen die Katheten y und z und die Hypotenuse x, dann gilt ebenso y^2+z^2=x^2. Es zählt die Lage zum rechten Winkel, nicht die Lage auf dem Blatt. Die Formel hat auch eine Flächenbedeutung: Über jeder Seite kannst du dir ein Quadrat vorstellen. Die beiden Kathetenquadrate haben zusammen denselben Flächeninhalt wie das Hypotenusenquadrat: a^2+b^2=c^2
Definition
Katheten und Hypotenuse
Die beiden Seiten, die sich am rechten Winkel treffen, heißen Katheten. Die Seite gegenüber dem rechten Winkel heißt Hypotenuse. Sie ist die längste Seite des rechtwinkligen Dreiecks.
Merke: Die Hypotenuse liegt gegenüber dem rechten Winkel und steht in der Pythagoras-Gleichung allein.
Teste dich
Sind beide Katheten bekannt, wird addiert: c=\sqrt{a^2+b^2}. Ist die Hypotenuse und eine Kathete bekannt, wird subtrahiert: a=\sqrt{c^2-b^2}, entsprechend b=\sqrt{c^2-a^2}. Die negative Wurzel kommt nicht infrage, weil eine Seitenlänge positiv ist. Quadriere jede Länge einzeln: 6^2+8^2 \ne (6+8)^2, denn 36+64=100, aber 14^2=196. Beim Quadrieren wird auch die Einheit quadriert, (6\,\text{cm})^2=36\,\text{cm}^2. Nach dem Wurzelziehen hast du wieder eine Länge.
Beispiel: Hypotenuse gesucht: a=6\,\text{cm}, b=8\,\text{cm}
- 1c^2=6^2+8^2
- 2c^2=36+64=100
- 3c=\sqrt{100}=10, also c=10\,\text{cm}
- 4Plausibel: Die Hypotenuse ist länger als jede Kathete.
Beispiel: Kathete gesucht: c=10\,\text{cm}, b=8\,\text{cm}
- 1a^2+8^2=10^2
- 2a^2=100-64=36
- 3a=\sqrt{36}=6, also a=6\,\text{cm}
- 4Plausibel: Die Kathete ist kürzer als die Hypotenuse.
Merke: Hypotenuse gesucht: quadrieren, addieren, Wurzel ziehen. Kathete gesucht: Hypotenusenquadrat minus bekanntes Kathetenquadrat, dann Wurzel ziehen.
Teste dich
Sind alle drei Seiten bekannt, kannst du mit der Umkehrung des Satzes testen, ob das Dreieck rechtwinklig ist. Nimm dafür die längste Seite als mögliche Hypotenuse c. Prüfe dann, ob die Quadrate der beiden kürzeren Seiten zusammen genau c^2 ergeben. Sind die Werte gleich, ist das Dreieck rechtwinklig, und der rechte Winkel liegt der längsten Seite gegenüber. Sind sie nicht gleich, ist das Dreieck nicht rechtwinklig. Du darfst nicht einfach eine beliebige Seite allein auf die rechte Seite der Gleichung setzen.
Beispiel: Seiten 5\,\text{cm}, 12\,\text{cm} und 13\,\text{cm}
- 1Längste Seite: 13\,\text{cm}, sie ist die mögliche Hypotenuse
- 25^2+12^2=25+144=169
- 313^2=169
- 4Beide Werte sind gleich: Das Dreieck ist rechtwinklig, der rechte Winkel liegt gegenüber der Seite mit 13\,\text{cm}.
Teste dich
In einer Sachaufgabe ist das Dreieck oft nicht eingezeichnet. Suche zwei Strecken, die senkrecht aufeinanderstehen, etwa Wand und Boden oder eine waagerechte und eine senkrechte Strecke. Die schräge Strecke gegenüber dem rechten Winkel ist die Hypotenuse. Gehe dann so vor: 1. Rechten Winkel erkennen. 2. Hypotenuse und Katheten bestimmen. 3. Bekannte und gesuchte Längen zuordnen. 4. Addieren, wenn die Hypotenuse gesucht ist, subtrahieren, wenn eine Kathete gesucht ist. 5. Wurzel ziehen, Einheit notieren und das Ergebnis auf Plausibilität prüfen.
Beispiel: Abstand von A(1 \mid 2) und C(5 \mid 5)
- 1Waagerechter Unterschied: 5-1=4
- 2Senkrechter Unterschied: 5-2=3
- 3Beide Unterschiede sind die Katheten eines Hilfsdreiecks, die Strecke AC ist die Hypotenuse.
- 4d=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5, also 5 Längeneinheiten
Teste dich
Alles auf einen Blick
Satz des Pythagoras
Voraussetzung
rechter Winkel
Seiten
zwei Katheten und eine Hypotenuse
Flächenidee
Kathetenquadrate ergeben Hypotenusenquadrat
Berechnen
bei Hypotenuse addieren, bei Kathete subtrahieren
Prüfen
längste Seite für die Umkehrung wählen
Anwenden
Sachsituation als rechtwinkliges Dreieck modellieren
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Der Weg quer über den Schulhof
- 1Der Schulhof ist ein Rechteck, 24 m lang und 10 m breit. Wie lang ist der Weg diagonal hinüber?
- 2Länge und Breite stehen senkrecht aufeinander, die Diagonale ist die Hypotenuse c.
- 3c^2=24^2+10^2=576+100=676
- 4c=\sqrt{676}=26, also 26 m
- 5Außen herum sind es 24 m + 10 m = 34 m. Quer über den Hof sparst du 8 m.
Fehler finden
Kathete b bei c=17\,\text{cm} und a=8\,\text{cm} In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 2Beim Umstellen wird 8^2 abgezogen, nicht addiert: b^2=17^2-8^2=289-64=225, also b=15\,\text{cm}. Eine Kathete kann nicht länger als die Hypotenuse sein.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel . Ist sie gesucht, werden die Kathetenquadrate . Für die Umkehrung setzt du die Seite allein auf eine Seite der Gleichung.
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback