Mathematik · Klasse 11 · aktualisiert
Umkehrfunktion bestimmen: Schritt für Schritt
Eine Umkehrfunktion macht eine Funktion rückgängig. Du lernst, wann es sie gibt, wie du sie berechnest und wie du dein Ergebnis prüfst.
0 von 10 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Die Umkehrfunktion f^{-1} macht die Zuordnung von f rückgängig: Aus f(x)=y folgt f^{-1}(y)=x. Du setzt y=f(x), löst nach x auf und vertauschst dann x und y. Das geht nur, wenn jeder Funktionswert höchstens einmal vorkommt.
Eine Umkehrfunktion macht die Zuordnung einer Funktion rückgängig: Sie führt einen Funktionswert wieder zu seinem ursprünglichen Eingabewert zurück. Dazu vertauschst du die Rollen von x und y und löst die Gleichung entsprechend um.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Eine gewöhnliche Funktion ordnet jedem erlaubten x genau einen Wert y zu. Für eine Umkehrfunktion muss zusätzlich auch die Rückrichtung eindeutig sein: Jeder Wert aus dem Wertebereich darf nur zu einem x gehören. Die Schreibweise f^{-1} bedeutet hier nicht den Kehrwert \frac{1}{f(x)}. Bei der Umkehrung wechseln Definitionsbereich und Wertebereich ihre Rollen: D_{f^{-1}}=W_f W_{f^{-1}}=D_f Eine Gerade wie f(x)=2x+2 mit von null verschiedener Steigung nimmt jeden Funktionswert nur einmal an. Die vollständige Parabel f(x)=x^2 ist dagegen nicht umkehrbar: Zum Funktionswert 4 gehören sowohl x=2 als auch x=-2.
Definition
Umkehrfunktion
Die Umkehrfunktion f^{-1} kehrt die Zuordnung von f um. Aus f(x)=y folgt f^{-1}(y)=x.
Merke: Eine Umkehrfunktion existiert auf dem betrachteten Bereich nur dann, wenn jeder Funktionswert höchstens einmal angenommen wird.
Teste dich
Gehe in vier Schritten vor: Schreibe y=f(x). Löse die Gleichung nach x auf. Vertausche anschließend die Variablennamen x und y. Gib den vertauschten Definitions- und Wertebereich an. Jetzt bist du dran: Bestimme die Umkehrfunktion von f(x)=\frac{2x+1}{3}.
Beispiel: Umkehrfunktion von f(x)=2x+2
- 1y=2x+2
- 2y-2=2x
- 3x=\frac{y-2}{2}=0{,}5y-1
- 4Variablen tauschen: f^{-1}(x)=0{,}5x-1
- 5Bereiche: D_{f^{-1}}=W_f=\mathbb R und W_{f^{-1}}=D_f=\mathbb R
Teste dich
Eine vollständige Parabel nimmt viele Funktionswerte zweimal an. Du musst deshalb einen Ast auswählen, bevor du sie umkehrst. Betrachte f(x)=3x^2+5. Wir beschränken die Funktion auf den rechten Ast: D_f=[0,\infty), \qquad W_f=[5,\infty). Hättest du stattdessen den linken Ast mit x\le 0 gewählt, müsste die Umkehrfunktion Werte kleiner oder gleich null liefern. Dann wäre f^{-1}(x)=-\sqrt{\frac{x-5}{3}}.
Beispiel: Rechter Ast von f(x)=3x^2+5 umkehren
- 1y=3x^2+5
- 2y-5=3x^2
- 3x^2=\frac{y-5}{3}
- 4Wegen x\ge 0 nur die positive Wurzel: x=\sqrt{\frac{y-5}{3}}
- 5Variablen tauschen: f^{-1}(x)=\sqrt{\frac{x-5}{3}}
- 6Bereiche: D_{f^{-1}}=[5,\infty) und W_{f^{-1}}=[0,\infty)
Merke: Das Vorzeichen vor der Wurzel hängt vom gewählten Parabelast ab. Es ist keine freie Wahl nach dem Auflösen.
Teste dich
Du kannst eine Umkehrfunktion auf zwei Arten kontrollieren. Rechnerische Probe: Setze f(x) in die Umkehrfunktion ein. Für erlaubte x muss gelten: f^{-1}(f(x))=x. Auch die umgekehrte Verkettung führt auf dem passenden Bereich zurück: f(f^{-1}(x))=x. Achte dabei immer auf die jeweiligen Definitionsbereiche. Graphische Probe: Der Graph von f^{-1} entsteht durch Spiegelung des Graphen von f an der Geraden y=x. Dabei werden die Koordinaten jedes Punktes vertauscht: P(0\mid 1) \longleftrightarrow P'(1\mid 0). Die graphische Spiegelung zeigt anschaulich, warum Definitions- und Wertebereich ihre Rollen wechseln.
Beispiel: Probe für f(x)=2x+2 und f^{-1}(x)=0{,}5x-1
- 1f^{-1}(f(x))=0{,}5(2x+2)-1
- 2=x+1-1
- 3=x
- 4Die Eingabe x kommt wieder heraus, die Umkehrfunktion stimmt.
Merke: Rechnerisch: f^{-1}(f(x))=x. Graphisch: an der Geraden y=x spiegeln, aus (a\mid b) wird (b\mid a).
Teste dich
Alles auf einen Blick
Umkehrfunktion
Bedeutung
macht eine Zuordnung rückgängig; vertauscht Eingabe und Ausgabe
Voraussetzung
jeder Funktionswert gehört zu höchstens einem x-Wert; sonst Definitionsbereich einschränken
Berechnung
y=f(x) setzen; nach x auflösen; Variablen vertauschen
Bereiche
Definitionsbereich und Wertebereich tauschen
Kontrolle
f^{-1}(f(x))=x prüfen; Graph an y=x spiegeln
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Umkehrfunktion von f(x)=4x-3
- 1y=4x-3
- 2y+3=4x
- 3x=\frac{y+3}{4}
- 4Variablen tauschen: f^{-1}(x)=\frac{x+3}{4}
- 5Probe: f^{-1}(f(x))=\frac{4x-3+3}{4}=x
Fehler finden
Umkehrfunktion von f(x)=2x+6 In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3Beim Teilen durch 2 muss die ganze linke Seite geteilt werden, also auch die 6: x=\frac{y-6}{2}=0{,}5y-3. Damit ist f^{-1}(x)=0{,}5x-3.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Eine Funktion ist umkehrbar, wenn jeder Funktionswert angenommen wird. Zum Bestimmen löst du y=f(x) nach auf und vertauschst dann die Variablen. Der Graph von f^{-1} entsteht durch Spiegelung an der Geraden .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback