Verhalten im Unendlichen: Regeln und Beispiele

Ein gezeichneter Graph zeigt immer nur einen Ausschnitt. Für das Endverhalten stellst du deshalb zwei getrennte Fragen: Was geschieht weit links, also für x\to-\infty? Was geschieht weit rechts, also für x\to+\infty? Ein Ergebnis kann eine Zahl sein oder ein unbegrenztes Verhalten ausdrücken: f(x)\to+\infty: Die Funktionswerte werden beliebig groß. f(x)\to-\infty: Die Funktionswerte werden beliebig stark negativ. f(x)\to K: Die Funktionswerte nähern sich einer festen Zahl K. Gehe bei jeder Aufgabe gleich vor: Erkenne den Funktionstyp, untersuche links und rechts getrennt, bestimme den entscheidenden Teil (führender Term, Gradvergleich oder Exponent), prüfe das Vorzeichen und notiere beide Grenzwerte vollständig.

Ein Polynom ist eine Summe von Potenztermen, zum Beispiel f(x)=-2x^5+4x^2-7. Für große Beträge von x wächst die höchste Potenz so stark, dass die niedrigeren Potenzen und die Konstante das Endverhalten nicht mehr bestimmen. Gehe immer in drei Schritten vor: Ordne oder fasse die Funktion so zusammen, dass du den höchsten Exponenten sicher erkennst. Bestimme, ob dieser Exponent gerade oder ungerade ist. Beachte das Vorzeichen des führenden Koeffizienten. Der führende Term ist der Summand mit dem höchsten Exponenten, bei f(x)=-2x^5+4x^2-7 also -2x^5. Wo er in der Summe steht, ist egal, und ein Minuszeichen davor gehört zu ihm.

Eine gebrochenrationale Funktion ist ein Quotient aus zwei Polynomen: f(x)=\frac{Z(x)}{N(x)} Für das Endverhalten vergleichst du den Zählergrad n und den Nennergrad m. Der Grad ist jeweils der höchste vorkommende Exponent. Dabei sind a_n und b_m die führenden Koeffizienten von Zähler und Nenner. Der Grund für die Tabelle wird sichtbar, wenn du nur die führenden Terme vergleichst: f(x)\sim\frac{a_nx^n}{b_mx^m}=\frac{a_n}{b_m}x^{n-m} Das Zeichen \sim bedeutet hier: Für das Endverhalten verhält sich die Funktion wie der Ausdruck auf der rechten Seite. Wenn der Zählergrad größer ist, hilft die vereinfachte Potenz. Für h(x)=\frac{-3x^3-1}{5x^2-4} gilt näherungsweise h(x)\sim-\frac35x. Daher läuft die Funktion rechts gegen -\infty und links gegen +\infty. Was der Gradvergleich für waagerechte und schiefe Asymptoten bedeutet, findest du unter „Asymptote“.

Bei einer Funktion der Form f(x)=a e^{kx}\qquad(a\ne0,\ k\ne0) ist e^{kx} immer positiv. Das Vorzeichen von k bestimmt, auf welcher Seite die Exponentialfunktion wächst und auf welcher sie gegen 0 fällt. Der Faktor a bestimmt das Vorzeichen der Funktionswerte. Ein negativer Exponent lässt sich als Kehrwert verstehen: e^{-x}=\frac1{e^x}. Wenn x\to+\infty, wächst der Nenner unbegrenzt und der Bruch nähert sich 0. Bei einem Produkt darfst du aus u(x)\to0 und v(x)\to\infty nicht automatisch auf u(x)v(x)\to0 schließen. Die Form 0\cdot\infty ist unbestimmt: Du musst vergleichen, welcher Faktor schneller wächst oder fällt. Bei x^2e^{-x}=\frac{x^2}{e^x} setzt sich für x\to+\infty der exponentiell wachsende Nenner gegen das Polynom durch; das Produkt nähert sich 0.