Mathematik · Klasse 11 · aktualisiert
Verkettung von Funktionen einfach erklärt
Verketten heißt, zwei Funktionen nacheinander auszuführen. Du lernst, verkettete Terme zu berechnen, ihren Definitionsbereich zu prüfen und sie zu zerlegen.
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Kurz gesagt
Bei der Verkettung von Funktionen führst du zwei Funktionen nacheinander aus: (f\circ g)(x)=f(g(x)). Zuerst berechnest du die innere Funktion g, dann setzt du ihr Ergebnis in die äußere Funktion f ein. Für g(x)=x+1 und f(x)=x^2 ist (f\circ g)(x)=(x+1)^2.
Zwei Funktionen zu verketten bedeutet, sie nacheinander auszuführen. Bei (f\circ g)(x)=f(g(x)) rechnest du zuerst mit der inneren Funktion g und danach mit der äußeren Funktion f.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Stell dir zwei Verarbeitungsschritte vor: Die erste Funktion erzeugt einen Zwischenwert. Diesen Zwischenwert verarbeitet die zweite Funktion weiter. Die Schreibweise f\circ g wird „f nach g“ gelesen. Die rechts stehende Funktion g wird also zuerst angewandt.
Definition
Funktionsverkettung
Die Verkettung von g und f ist (f\circ g)(x)=f(g(x)). Dabei ist g die innere Funktion und f die äußere Funktion. Das Zeichen \circ heißt Verkettungszeichen.
Beispiel: (f\circ g)(2) für g(x)=x+1 und f(x)=x^2
- 1Zuerst g: g(2)=2+1=3
- 2Dann f: f(3)=3^2=9
- 32\xrightarrow{g}3\xrightarrow{f}9
- 4Also gilt (f\circ g)(2)=f(g(2))=f(3)=9.
Teste dich
Für (f\circ g)(x) gehst du in drei Schritten vor: Bestimme die innere Funktion g. Ersetze in f jedes Argument durch den vollständigen Term g(x). Vereinfache den entstandenen Term. Beim Vertauschen der Funktionen ändert sich meist das Ergebnis. Dieses Verhalten heißt Nichtkommutativität. Bei drei Funktionen darfst du zwar die Gruppierung ändern, aber nicht ihre Reihenfolge. Das ist die Assoziativität: (f\circ g)\circ h=f\circ(g\circ h). Beide Seiten führen zu f(g(h(x))): zuerst h, danach g und zuletzt f.
Beispiel: f\circ g für f(x)=x^2+x und g(x)=2x+1
- 1Setze 2x+1 an beiden Stellen für das Argument von f ein:
- 2(f\circ g)(x)=(2x+1)^2+(2x+1)
- 3(2x+1)^2+(2x+1)=4x^2+4x+1+2x+1=4x^2+6x+2
- 4Ergebnis: (f\circ g)(x)=4x^2+6x+2
Beispiel: Umgekehrte Reihenfolge: g\circ f
- 1Bekannt: (f\circ g)(x)=4x^2+6x+2
- 2(g\circ f)(x)=g(f(x))=2(x^2+x)+1=2x^2+2x+1
- 3Die Terme sind verschieden, also gilt f\circ g\ne g\circ f.
Merke: Setze den inneren Funktionsterm immer vollständig ein. Klammern schützen davor, einzelne Summanden oder Rechenoperationen zu übersehen.
Teste dich
Eine Verkettung ist nur dort definiert, wo beide Rechenschritte erlaubt sind. Der Eingabewert muss zunächst zu D_g gehören. Außerdem muss der Zwischenwert g(x) im Definitionsbereich D_f der äußeren Funktion liegen.
Definition
Definitionsbereich der Verkettung
Für f\circ g gilt D_{f\circ g}=\{x\in D_g\mid g(x)\in D_f\}. Die Bedingung W_g\subseteq D_f garantiert, dass die Verkettung auf dem gesamten Definitionsbereich von g möglich ist. Andernfalls kann ein eingeschränkter Definitionsbereich entstehen.
Beispiel: Definitionsbereich von \sqrt{3x-1}
- 1g(x)=3x-1 und f(t)=\sqrt{t}
- 2Die Wurzel verlangt t\ge0, also 3x-1\ge0.
- 3Daraus folgt x\ge\frac13.
- 4(f\circ g)(x)=\sqrt{3x-1} für x\ge\frac13
- 5Gegenprobe x=0: g(0)=-1, und \sqrt{-1} ist nicht reell.
Teste dich
Verketten funktioniert auch rückwärts: Du kannst einen komplizierten Term in eine innere und eine äußere Funktion zerlegen. Suche zuerst den Ausdruck, der als zusammengehöriger Zwischenwert verarbeitet wird. Mehrere Funktionen wertest du ebenfalls von innen nach außen aus: (p\circ q\circ r)(x)=p(q(r(x))).
Beispiel: h(x)=\frac{1}{x^2+1} zerlegen
- 1Innere Funktion: u(x)=x^2+1
- 2Äußere Funktion: v(t)=\frac1t
- 3Probe: (v\circ u)(x)=v(x^2+1)=\frac1{x^2+1}
- 4v ist bei t=0 nicht definiert. Weil x^2+1\ge1 gilt, entsteht keine Einschränkung.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Verkettung von Funktionen
Bedeutung
Funktionen werden nacheinander ausgeführt
Reihenfolge
von innen nach außen
Berechnung
inneren Term vollständig einsetzen
Definitionsbereich
jeder Zwischenschritt muss erlaubt sein
Rechengesetze
nicht kommutativ, aber assoziativ
Zerlegung
verschachtelte Terme in Bausteine aufteilen
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
f\circ g für f(x)=x^2-3 und g(x)=2x+1
- 1Innere Funktion g(x)=2x+1, äußere Funktion f(x)=x^2-3
- 2(f\circ g)(x)=f(2x+1)=(2x+1)^2-3
- 3(2x+1)^2-3=4x^2+4x+1-3=4x^2+4x-2
- 4Probe mit x=1: g(1)=3 und f(3)=9-3=6
- 5Im Term: 4\cdot1^2+4\cdot1-2=6, das passt.
Fehler finden
(f\circ g)(x) für f(x)=x^2+1 und g(x)=x-3 In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3(x-3)^2 ist ein Binom und wird nicht summandenweise quadriert. Richtig: (x-3)^2+1=x^2-6x+9+1=x^2-6x+10.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Bei (f\circ g)(x) wird zuerst die Funktion g ausgeführt. Dabei setzt du den Term g(x) in f ein. Im Allgemeinen ist f\circ g g\circ f.
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback