Mathematik · Klasse 11–12 · aktualisiert
Ableitung einfach erklärt: Steigung und Regeln
Die Ableitung misst, wie stark sich eine Funktion an einer Stelle ändert. Du lernst Tangentensteigung, Grenzwertidee, Ableitungsgraph und Regeln.
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Kurz gesagt
Die Ableitung f'(x_0) ist die lokale Änderungsrate einer Funktion f an der Stelle x_0. Am Graphen ist sie die Steigung der Tangente: Ist sie positiv, steigt der Graph, ist sie negativ, fällt er. Beispiel: Für f(x) = x^2 ist f'(x) = 2x.
Ein Radfahrer hat nach 10 Sekunden 50 Meter geschafft. Aber wie schnell ist er genau jetzt? Diese Frage beantwortet die Ableitung. Die Ableitung f'(x) beschreibt, wie stark sich eine Funktion an der Stelle x verändert. Am Graphen ist sie die Steigung der Tangente. Hier entwickelst du die Ableitung von der Sekantensteigung bis zur Ableitungsfunktion und lernst, sie zu deuten und zu berechnen.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Der Funktionswert f(x_0) und der Ableitungswert f'(x_0) beantworten verschiedene Fragen. f(x_0) sagt, welchen Wert die Funktion an der Stelle x_0 hat. f'(x_0) sagt, wie stark und in welche Richtung sich die Funktion dort verändert. Ein positiver Ableitungswert bedeutet Steigen, ein negativer Fallen. Bei einer Wegfunktion ist die Ableitung zum Beispiel die momentane Geschwindigkeit: Der Funktionswert gibt den zurückgelegten Weg an, die Ableitung, wie schnell er sich gerade ändert.
Definition
Ableitung
Die Ableitung f'(x_0) ist die lokale Änderungsrate von f an der Stelle x_0. Am Graphen ist sie die Steigung der Tangente im Punkt (x_0 \mid f(x_0)).
Beispiel: Steigung von f(x) = x^3 + 1 im Punkt P(1 \mid 2)
- 1Mit der Potenzregel: f'(x) = 3x^2
- 2An der Stelle x_0 = 1: f'(x_0) = 3 \cdot 1^2 = 3
- 3Die Tangente hat im Punkt P die Steigung 3.
- 4Der Funktionswert f(1) = 2 ist die Höhe des Punktes, keine Steigung.
Teste dich
Zwischen zwei Punkten eines Graphen kannst du zunächst nur eine mittlere Änderungsrate bestimmen. Die Gerade durch beide Punkte heißt Sekante. Für die Stellen x_0 und x_0 + h mit h \ne 0 hat sie die Steigung \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}. Dieser Ausdruck heißt Differenzenquotient. Rückt der zweite Punkt immer näher an x_0 heran, nähert sich die Sekante der Tangente. Dazu lässt du h gegen null gehen. Wichtig: h = 0 darfst du nicht sofort einsetzen, sonst teilst du durch null. Du vereinfachst erst und bildest dann den Grenzwert.
Definition
Differentialquotient
Falls der Grenzwert existiert, ist f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}. Dieser Grenzwert heißt Differentialquotient. Er beschreibt die lokale Änderungsrate an einer einzigen Stelle.
Beispiel: Ableitung von f(x) = x^2 an der Stelle x_0 = 1
- 1Differenzenquotient: \frac{f(1+h) - f(1)}{h} = \frac{(1+h)^2 - 1}{h}
- 2Klammer auflösen, dann kürzen: \frac{1 + 2h + h^2 - 1}{h} = \frac{2h + h^2}{h} = 2 + h
- 3Grenzwert: f'(1) = \lim_{h \to 0} (2 + h) = 2
- 4Die Tangente an f(x) = x^2 hat bei x = 1 die Steigung 2.
Merke: Der Differenzenquotient beschreibt die mittlere Änderung zwischen zwei Stellen. Sein Grenzwert, der Differentialquotient, beschreibt die lokale Änderung an einer Stelle.
Teste dich
Berechnest du die lokale Steigung für jede Stelle, entsteht die Ableitungsfunktion f'. Ihr Vorzeichen beschreibt den Verlauf von f. Eine waagerechte Tangente kann zu einem Hochpunkt, einem Tiefpunkt oder einem Sattelpunkt gehören. Die Gleichung f'(x) = 0 liefert deshalb nur Kandidatenstellen für Extrempunkte. Gilt dort f''(x_0) > 0, liegt ein Tiefpunkt vor, bei f''(x_0) < 0 ein Hochpunkt. Aus f''(x_0) = 0 folgt noch keine Entscheidung. Suchst du den größten oder kleinsten Wert auf einem geschlossenen Intervall, prüfst du zusätzlich die Randstellen und Knickstellen. Beim graphischen Ableiten liest du die Steigungen von f ab und trägst sie als Werte von f' ein: Wo f eine waagerechte Tangente hat, hat f' eine Nullstelle.
| Verlauf von f | Wert von f' |
|---|---|
| f steigt | f'(x) > 0 |
| f fällt | f'(x) < 0 |
| waagerechte Tangente | f'(x) = 0 |
| steiler Anstieg | großer positiver Wert |
Beispiel: Vorzeichen von f' für f(x) = x^3 - 3x
- 1Ableitung: f'(x) = 3x^2 - 3
- 2Bei x = -1{,}5: 3 \cdot (-1{,}5)^2 - 3 = 3{,}75 > 0, der Graph steigt.
- 3Bei x = 0{,}5: 3 \cdot 0{,}5^2 - 3 = -2{,}25 < 0, der Graph fällt.
- 4Bei x = 1: 3 \cdot 1^2 - 3 = 0, die Tangente ist waagerecht. Ob dort ein Tiefpunkt liegt, zeigt erst der Vorzeichenwechsel von f' oder das Vorzeichen von f''(1).
Teste dich
Prüfe vor dem Ableiten den Aufbau der Funktion. Oft kannst du den Term erst vereinfachen: Aus f(x) = x(x^2 - 1) wird ausmultipliziert x^3 - x, und du brauchst keine Produktregel. Die Potenzregel gilt auch für negative und gebrochene Exponenten, solange der Term definiert ist. Exponentialfunktionen wie 2^x leitest du dagegen nicht wie Potenzen von x ab. Ableiten kannst du nur dort, wo f differenzierbar ist, also eine eindeutige endliche Tangentensteigung hat. Bei f(x) = |x| hat der Graph an der Stelle 0 einen Knick und keine eindeutige Tangentensteigung. Typische Fehler: Bei einem Produkt ist u' \cdot v' falsch, richtig ist u'v + uv'. Bei einem Quotienten leitest du Zähler und Nenner nicht einzeln ab. Und bei einer Verkettung darf die innere Ableitung nicht fehlen.
| Regel | Formel |
|---|---|
| Konstantenregel | (c)' = 0 |
| Potenzregel | (x^n)' = n \cdot x^{n-1} |
| Faktorregel | (c \cdot g(x))' = c \cdot g'(x) |
| Summenregel | (g(x) + h(x))' = g'(x) + h'(x) |
| Produktregel | (u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v' |
| Quotientenregel | \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2} mit v \ne 0 |
| Kettenregel | (u(v(x)))' = u'(v(x)) \cdot v'(x) |
Beispiel: f(x) = (x^2 + 2x - 4)^{15} ableiten
- 1Äußere Funktion: die 15. Potenz. Innere Funktion: g(x) = x^2 + 2x - 4
- 2Innere Ableitung: g'(x) = 2x + 2
- 3Kettenregel: f'(x) = 15(x^2 + 2x - 4)^{14} \cdot (2x + 2)
- 4Der Faktor (2x + 2) darf nicht fehlen: Er ist die innere Ableitung.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Ableitung
Bedeutung
lokale Änderungsrate und Tangentensteigung
Entstehung
Grenzwert der Sekantensteigungen
Vorzeichen
f' > 0 steigt, f' < 0 fällt
Waagerechte Tangente
f' = 0, nur ein Kandidat für einen Extrempunkt
Berechnung
Regel passend zum Termaufbau wählen
Grenzen
nur wo f differenzierbar ist
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Steigung von f(x) = x(x^2 - 1) an der Stelle x = \frac{1}{2}
- 1Ausmultiplizieren: f(x) = x^3 - x
- 2Potenzregel: f'(x) = 3x^2 - 1
- 3Einsetzen: 3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 - 1 = \frac{3}{4} - 1 = -\frac{1}{4}
- 4Der Wert ist negativ: Der Graph fällt an dieser Stelle leicht.
Fehler finden
Steigung von f(x) = x^2 + 1 an der Stelle x = 3 In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 2In der zweiten Zeile wurde 3 in f statt in f' eingesetzt, 10 ist die Höhe des Punktes. Richtig ist 2 \cdot 3 = 6: Die Tangente hat die Steigung 6.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Steigt der Graph von f, ist f' . An einer waagerechten Tangente ist f' gleich . Fällt f, ist f' .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback