Tangentengleichung bestimmen: Formel und Beispiel

Angenommen, du sollst die Tangente an den Graphen von f an der Stelle x_0 bestimmen. Zwei Angaben legen diese Gerade fest: Der Berührpunkt ist P(x_0\mid f(x_0)). Den zugehörigen y-Wert erhältst du also mit der ursprünglichen Funktion. Die Tangentensteigung ist m=f'(x_0). Dafür setzt du x_0 in die Ableitungsfunktion ein. Eine Tangente muss den Graphen nicht nur in einem einzigen Punkt treffen. Entscheidend sind der gemeinsame Berührpunkt und die gleiche lokale Steigung, nicht die Anzahl aller Schnittpunkte.

Gegeben sind eine differenzierbare Funktion f und eine Berührstelle x_0. Gehe immer in derselben Reihenfolge vor: Ableiten: Bestimme f'(x). Steigung berechnen: Setze x_0 ein und berechne m=f'(x_0). Berührpunkt berechnen: Bestimme y_0=f(x_0). Damit ist P(x_0\mid y_0) bekannt. Geradengleichung aufstellen: Setze m, x_0 und y_0 in y-y_0=m(x-x_0) ein. Forme anschließend bei Bedarf zu y=mx+b um. Die Punkt-Steigungs-Form ist besonders sicher, weil du den bekannten Punkt direkt einsetzen kannst. Aus ihr folgt auch die kompakte Tangentenformel: t(x)=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)

Rechne das Beispiel unten zuerst selbst: die Tangente an f(x)=x^3 bei x_0=-1. Drei typische Fehler: Funktionswert und Ableitungswert vertauscht: Der Punkt verwendet f(x_0), die Steigung verwendet f'(x_0). Vorzeichen bei negativem x_0 verloren: In x-x_0 wird bei x_0=-1 daraus x-(-1)=x+1. Nur den Berührpunkt geprüft: Kontrolliere zusätzlich die Steigung der Geraden. Eine waagerechte Tangente ist kein Sonderverfahren. Wenn f'(x_0)=0 gilt, setzt du einfach m=0 ein. Bei f(x)=x^2 und x_0=0 erhältst du so y=0.