Mathematik · Klasse 11 · aktualisiert
Tangente und Normale berechnen – einfach erklärt
Tangente und Normale gehen durch denselben Punkt des Graphen und stehen senkrecht aufeinander. Du lernst, beide Gleichungen mit der Ableitung aufzustellen.
0 von 10 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Die Tangente an f bei x_0 hat die Steigung m_{\text{tan}}=f'(x_0), die Normale steht senkrecht darauf und hat den negativen Kehrwert m_{\text{norm}}=-\frac{1}{f'(x_0)}. Beide gehen durch P(x_0 \mid f(x_0)). Beispiel: Für f(x)=x^2 bei x_0=2 ist m_{\text{tan}}=4 und m_{\text{norm}}=-\frac{1}{4}.
Die Tangente hat am Berührpunkt dieselbe Steigung wie der Funktionsgraph. Die Normale verläuft durch denselben Punkt und steht senkrecht auf der Tangente. Mit der ersten Ableitung kannst du beide Geraden bestimmen.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Für eine Funktion f und eine Stelle x_0 lautet der gemeinsame Punkt beider Geraden: P(x_0 \mid f(x_0)) Der Ausdruck negativer Kehrwert bedeutet: Du vertauschst Zähler und Nenner und änderst das Vorzeichen. Aus m_{\text{tan}}=2 wird zum Beispiel m_{\text{norm}}=-\frac{1}{2}.
Definition
Tangente
Die Tangente ist die Gerade, die am Punkt P dieselbe Steigung wie der Funktionsgraph besitzt. Ihre Steigung ist der Ableitungswert: m_{\text{tan}}=f'(x_0)
Definition
Normale
Die Normale verläuft ebenfalls durch P, steht dort aber senkrecht auf der Tangente. Für m_{\text{tan}}\neq 0 gilt: m_{\text{norm}}=-\frac{1}{m_{\text{tan}}}
Merke: Sind beide Steigungen endlich und m_{\text{tan}}\neq 0, dann gilt als Kontrolle: m_{\text{tan}}\cdot m_{\text{norm}}=-1
Teste dich
Du brauchst die Funktion f, ihre Ableitung f' und die vorgegebene Stelle x_0. Berechne den Punkt mit y_0=f(x_0). Bestimme die Tangentensteigung mit m_{\text{tan}}=f'(x_0). Setze Punkt und Steigung in die Punkt-Steigungs-Form ein: y-y_0=m(x-x_0) Für die Tangente erhältst du direkt: y_{\text{tan}}=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0) Falls m_{\text{tan}}\neq 0 ist, berechne m_{\text{norm}}=-\frac{1}{m_{\text{tan}}}. Setze den gemeinsamen Punkt und die Normalensteigung ebenfalls in die Punkt-Steigungs-Form ein. Du kannst beide Gleichungen anschließend zur Form y=mx+b umformen. Die Punkt-Steigungs-Form ist oft schneller, weil der bekannte Punkt bereits eingesetzt werden kann.
| Gerade | Steigung | Gleichung |
|---|---|---|
| Tangente | m_{\text{tan}}=f'(x_0) | y-y_0=f'(x_0)(x-x_0) |
| Normale (f'(x_0)\neq 0) | m_{\text{norm}}=-\frac{1}{f'(x_0)} | y-y_0=-\frac{1}{f'(x_0)}(x-x_0) |
Teste dich
Gegeben sind f(x)=x^3-2x und die Stelle x_0=1. Du gehst in sieben kurzen Schritten vor: ableiten, Punkt, Tangentensteigung, Tangente, Normalensteigung, Normale, Probe. Jetzt du: Bestimme Tangente und Normale an f(x)=3x^2+1 bei x_0=1. Die Frage unten prüft dein Ergebnis.
Beispiel: Tangente und Normale an f(x)=x^3-2x bei x_0=1
- 11. f'(x)=3x^2-2
- 22. f(1)=1^3-2\cdot 1=-1, also P(1 \mid -1)
- 33. m_{\text{tan}}=f'(1)=3\cdot 1^2-2=1
- 44. Tangente: y+1=1\cdot(x-1), also y_{\text{tan}}=x-2
- 55. m_{\text{norm}}=-\frac{1}{1}=-1
- 66. Normale: y+1=-1\cdot(x-1), also y_{\text{norm}}=-x
- 77. Probe: 1\cdot(-1)=-1, und beide Geraden gehen durch P(1 \mid -1).
Teste dich
Ist f'(x_0)=0, dann ist die Tangente waagerecht: y=f(x_0) Die Rechnung m_{\text{norm}}=-\frac{1}{0} ist nicht erlaubt. Die Normale ist in diesem Fall eine senkrechte Gerade: x=x_0 Typische Fehler vermeiden: Setze x_0 in f ein, um die Höhe f(x_0) zu erhalten. Setze x_0 in f' ein, um die Steigung f'(x_0) zu erhalten. Ändere beim negativen Kehrwert sowohl den Bruch als auch das Vorzeichen. Teile nie durch null. Prüfe am Ende, ob beide Geraden durch den gemeinsamen Punkt verlaufen.
Beispiel: Waagerechte Tangente bei f(x)=x^2 an der Stelle x_0=0
- 1f(0)=0 und f'(0)=0
- 2Tangente: y=0 (waagerecht)
- 3Normale: x=0 (senkrecht, die y-Achse)
Merke: Prüfe die Tangentensteigung, bevor du den negativen Kehrwert bildest. Bei m_{\text{tan}}=0 lautet die Normale x=x_0.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Tangente und Normale
Gemeinsamer Punkt
P(x_0 \mid f(x_0))
Tangente
Steigung f'(x_0)
Normale
negativer Kehrwert der Tangentensteigung
Geradenform
y-y_0=m(x-x_0)
Kontrolle
Steigungsprodukt -1
Sonderfall
bei f'(x_0)=0 ist die Normale x=x_0
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Tangente und Normale an f(x)=x^2 bei x_0=2
- 1f(2)=2^2=4, also P(2 \mid 4)
- 2f'(x)=2x, also m_{\text{tan}}=f'(2)=4
- 3Tangente: y-4=4(x-2), also y_{\text{tan}}=4x-4
- 4m_{\text{norm}}=-\frac{1}{4}
- 5Normale: y-4=-\frac{1}{4}(x-2), also y_{\text{norm}}=-\frac{1}{4}x+\frac{9}{2}
Fehler finden
Normale an f(x)=x^2+1 bei x_0=1 In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3Das Minus fehlt: Die Normalensteigung ist der negative Kehrwert, m_{\text{norm}}=-\frac{1}{2}. Richtig ist y-2=-\frac{1}{2}(x-1), also y=-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Die Tangente hat im Berührpunkt Steigung wie der Graph. Die Normale steht zur Tangente. Ihre Steigung ist der der Tangentensteigung.
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback