Mathematik · Klasse 11 · aktualisiert
Symmetrie von Funktionen einfach prüfen
Manche Funktionsgraphen sind zur y-Achse oder zum Ursprung symmetrisch. Du lernst, das rechnerisch und mit dem Exponententest sicher zu prüfen.
0 von 11 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Ein Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn für alle x gilt: f(-x)=f(x). Er ist punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn f(-x)=-f(x) gilt. Bei Polynomen hilft der Exponententest: nur gerade Exponenten bedeuten y-Achse, nur ungerade bedeuten Ursprung.
Funktionsgraphen können Spiegel- oder Drehsymmetrien besitzen. Für die beiden Grundformen setzt du -x ein: Gilt f(-x)=f(x), ist der Graph zur y-Achse symmetrisch. Gilt f(-x)=-f(x), ist er zum Ursprung punktsymmetrisch. Du lernst hier, beide Bedingungen sicher zu prüfen und verschobene Symmetrien davon zu unterscheiden.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Bei einer Achsensymmetrie sind die beiden Graphenhälften Spiegelbilder. Bei einer Punktsymmetrie zum Ursprung deckt eine Drehung um 180^\circ den Graphen wieder mit sich selbst. Der Hinweis auf den Definitionsbereich ist wichtig: Wenn x erlaubt ist, muss für diese Grundtests auch -x erlaubt sein. Eine einzelne passende Zahl reicht nicht aus; die Gleichung muss für alle zulässigen x gelten.
Definition
Gerade Funktion
Eine Funktion heißt gerade, wenn ihr Definitionsbereich bezüglich 0 symmetrisch ist und für jedes zulässige x gilt: f(-x)=f(x). Ihr Graph ist dann zur y-Achse symmetrisch.
Definition
Ungerade Funktion
Eine Funktion heißt ungerade, wenn ihr Definitionsbereich bezüglich 0 symmetrisch ist und für jedes zulässige x gilt: f(-x)=-f(x). Ihr Graph ist dann zum Ursprung punktsymmetrisch.
Merke: Gleicher Funktionswert bei x und -x bedeutet Spiegelung an der y-Achse. Entgegengesetzter Funktionswert bedeutet eine Drehung um den Ursprung.
Teste dich
Das allgemeine Verfahren funktioniert auch bei Funktionen, für die kein einfacher Exponententest zur Verfügung steht: Ersetze jedes x durch (-x) und setze Klammern. Vereinfache Potenzen und Vorzeichen. Vergleiche das Ergebnis zuerst mit f(x) und dann mit -f(x). Formuliere die Symmetrieaussage genau. Auch bei r(x)=\frac{x}{x^2+1} hilft die direkte Prüfung: r(-x)=\frac{-x}{(-x)^2+1}=-\frac{x}{x^2+1}=-r(x) Die Funktion ist ungerade. Ihr Definitionsbereich besteht aus allen reellen Zahlen und ist bezüglich 0 symmetrisch. Der häufigste Rechenfehler entsteht durch fehlende Klammern. Aus -(-x) wird +x, während (-x)^2=x^2 und (-x)^3=-x^3 gilt.
Beispiel: f(x)=x^4-2x^2-3 prüfen
- 1f(-x)=(-x)^4-2(-x)^2-3=x^4-2x^2-3=f(x)
- 2Gerade Potenzen beseitigen das Minus. Deshalb ist der Graph zur y-Achse symmetrisch.
Beispiel: g(x)=x^5+2x^3-x prüfen
- 1g(-x)=(-x)^5+2(-x)^3-(-x)=-x^5-2x^3+x
- 2Klammere ein Minus aus:
- 3g(-x)=-(x^5+2x^3-x)=-g(x)
- 4Damit ist der Graph zum Ursprung punktsymmetrisch.
Teste dich
Bei einer ganzrationalen Funktion, also einem Polynom, kannst du oft schon an den tatsächlich vorkommenden Exponenten entscheiden: Nur gerade Exponenten: Der Graph ist zur y-Achse symmetrisch. Nur ungerade Exponenten: Der Graph ist zum Ursprung punktsymmetrisch. Gerade und ungerade Exponenten gemischt: Der Graph besitzt keine der beiden Grundsymmetrien. Eine Konstante zählt als Potenz mit Exponent 0, denn c=cx^0. Der Exponent 0 ist gerade. Ein einzelnes x hat den ungeraden Exponenten 1.
Beispiel: Drei Polynome am Exponententest
- 1f(x)=5x^4-x^2+7: Exponenten 4, 2, 0 sind gerade, also symmetrisch zur y-Achse
- 2g(x)=4x^5-x^3+2x: Exponenten 5, 3, 1 sind ungerade, also punktsymmetrisch zum Ursprung
- 3h(x)=x^5+3x^3+1: 5 und 3 ungerade, 0 gerade, also keine der beiden Grundsymmetrien
Merke: Der Exponententest entscheidet nur über die Grundsymmetrien zur y-Achse und zum Ursprung. Gemischte Exponenten schließen eine verschobene Symmetrie nicht aus.
Teste dich
Scheitern beide Grundtests, kann ein Graph trotzdem zu einer anderen senkrechten Geraden oder zu einem anderen Punkt symmetrisch sein. Dafür brauchst du einen vorgegebenen oder vermuteten Symmetrieort und prüfst ihn durch eine eigene Gleichung. Symmetrie zur Geraden x=h: Für eine senkrechte Achse x=h vergleichst du gleich weit links und rechts liegende Stellen: f(h-x)=f(h+x) Symmetrie zum Punkt P(a \mid b): Für einen Punkt P(a \mid b) prüfst du: f(a+x)-b=-(f(a-x)-b) Damit verschiebst du den gedachten Mittelpunkt rechnerisch zum Ursprung und vergleichst entgegengesetzte Funktionswerte.
Beispiel: Achse x=2 bei f(x)=(x-2)^2-3 prüfen
- 1f(2-x)=((2-x)-2)^2-3=x^2-3
- 2f(2+x)=((2+x)-2)^2-3=x^2-3
- 3Beide Seiten sind gleich. Der Graph ist zur Geraden x=2 achsensymmetrisch.
Beispiel: Punkt P(0 \mid 1) bei g(x)=x^3+x+1 prüfen
- 1g(0+x)-1=x^3+x
- 2-(g(0-x)-1)=-((-x)^3-x)=x^3+x
- 3Die Seiten stimmen überein. Der Graph ist punktsymmetrisch zu P(0 \mid 1).
Teste dich
Alles auf einen Blick
Symmetrie von Funktionen
Zur y-Achse
f(-x)=f(x)
Zum Ursprung
f(-x)=-f(x)
Polynom-Schnelltest
Exponenten prüfen
Verschobene Achse
f(h-x)=f(h+x)
Verschobener Punkt
Werte um P(a \mid b) vergleichen
Kontrolle
Definitionsbereich und Vorzeichen beachten
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Symmetrie von f(x)=x^3-4x prüfen
- 1f(-x)=(-x)^3-4\cdot(-x)
- 2f(-x)=-x^3+4x
- 3-f(x)=-(x^3-4x)=-x^3+4x
- 4Also gilt f(-x)=-f(x): Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
Fehler finden
Symmetrie von f(x)=x^4+2x^2 prüfen In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 2Bei geraden Exponenten verschwindet das Minus: (-x)^4=x^4 und (-x)^2=x^2. Richtig ist f(-x)=x^4+2x^2=f(x), der Graph ist also achsensymmetrisch zur y-Achse.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Beim Polynom p(x)=3x^6-2x^2+5 sind die Exponenten . Sie sind alle . Der Graph ist deshalb .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback