Mathematik · Klasse 2–4 · aktualisiert
Umkehraufgaben einfach erklärt und sicher lösen
Eine Umkehraufgabe macht eine Rechnung rückgängig. Du lernst, sie zu bilden, fehlende Zahlen zu finden und Ergebnisse zu prüfen.
0 von 11 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Eine Umkehraufgabe macht eine Rechnung mit der entgegengesetzten Rechenart rückgängig: Plus gehört zu Minus, Mal zu Geteilt. Zu 8 + 5 = 13 passen die Umkehraufgaben 13 − 5 = 8 und 13 − 8 = 5. So findest du fehlende Zahlen und prüfst Ergebnisse.
Eine Umkehraufgabe macht eine Rechnung rückgängig. Plus und Minus gehören dabei zusammen, ebenso Mal und Geteilt. Mit einer Umkehraufgabe kannst du fehlende Zahlen finden und Ergebnisse prüfen.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
3 Abschnitte
Stell dir vor, du gehst sieben Schritte vor und danach sieben Schritte zurück. Am Ende bist du wieder am Ausgangspunkt. Genau diese Idee steckt hinter Umkehraufgaben. Die Rechenarten bilden zwei Paare: Addition und Subtraktion: Plus ↔ Minus. Multiplikation und Division: Mal ↔ Geteilt. Der Frosch startet bei 4 und springt 7 Felder vor: 4 + 7 = 11. Die Umkehraufgabe 11 − 7 = 4 führt ihn zurück zum Start. Bei einer Addition kannst du aus der Summe jeden der beiden Summanden durch Subtraktion zurückgewinnen. Beginnst du mit einer Subtraktion, addierst du die weggenommene Zahl wieder: 20 − 7 = 13 wird durch 13 + 7 = 20 rückgängig gemacht. Bei Plus und Minus ist die größte der drei Zahlen die Summe. Sie steht bei den Minusaufgaben am Anfang. Eine Multiplikation fasst gleich große Gruppen zusammen. Eine Division zerlegt das Ergebnis wieder in solche Gruppen. Wenn du eine Geteiltaufgabe kennst, kannst du sie mit einer Malaufgabe prüfen: 12 : 3 = 4 wird durch 4 · 3 = 12 geprüft. Eine passende Umkehraufgabe ohne Rest entsteht hier, weil die Ausgangszahl vollständig in gleich große Gruppen geteilt werden kann.
Definition
Umkehraufgabe
Eine Umkehraufgabe verwendet dieselben beteiligten Zahlen, aber die entgegengesetzte Rechenart. Sie gewinnt eine Zahl der Ausgangsaufgabe zurück.
Beispiel: Umkehraufgaben zu 8 + 5 = 13
- 113 − 5 = 8
- 213 − 8 = 5
- 3In allen drei Rechnungen kommen nur 8, 5 und 13 vor.
Beispiel: Umkehraufgaben zu 4 · 3 = 12
- 112 : 3 = 4
- 212 : 4 = 3
- 3Beide Divisionen gewinnen einen Faktor der Malaufgabe zurück.
Teste dich
Umkehraufgaben helfen bei Aufgaben mit einer Lücke. Überlege zuerst, welche Zahl du durch die entgegengesetzte Rechenart zurückgewinnen kannst. Auch ein berechnetes Ergebnis kannst du prüfen. Eine fehlgeschlagene Probe zeigt, dass mindestens eine beteiligte Rechnung nicht stimmt. Dann rechnest du die Ausgangsaufgabe noch einmal sorgfältig.
Beispiel: Fehlende Zahl in □ + 6 = 19
- 1Umkehraufgabe: 19 − 6 = 13
- 2Also ist □ = 13
- 3Probe: 13 + 6 = 19 ✓
Beispiel: Behauptung: 16 + 3 = 19
- 1Prüfung: 19 − 3 = 16
- 2Die Umkehraufgabe führt zur Ausgangszahl 16 zurück, das Ergebnis 19 stimmt.
Merke: Frage dich: Welche Rechnung bringt mich zum Anfang zurück?
Teste dich
Mehrere Rechnungen mit denselben drei Zahlen bilden eine Aufgabenfamilie. Die Tabelle zeigt die Plus-Minus-Familie zu 5, 4 und 9. Dabei sind nicht alle Rechnungen Umkehraufgaben voneinander. So erkennst du den Unterschied: Bei einer Umkehraufgabe wechselt die Rechenart, zum Beispiel von Plus zu Minus. Bei einer Tauschaufgabe bleibt die Rechenart gleich, zum Beispiel 5 + 4 = 9 und 4 + 5 = 9. Tauschaufgaben funktionieren bei Addition und Multiplikation. Bei Subtraktion und Division darfst du die Zahlen nicht einfach vertauschen: 9 − 5 und 5 − 9 haben nicht dasselbe Ergebnis.
Definition
Tauschaufgabe
Bei einer Tauschaufgabe werden die Summanden einer Addition oder die Faktoren einer Multiplikation vertauscht. Das Rechenzeichen und das Ergebnis bleiben gleich.
| Rechnung | Beziehung zu 5 + 4 = 9 |
|---|---|
| 5 + 4 = 9 | Ausgangsaufgabe |
| 4 + 5 = 9 | Tauschaufgabe |
| 9 − 5 = 4 | Umkehraufgabe |
| 9 − 4 = 5 | Umkehraufgabe |
Teste dich
Alles auf einen Blick
Umkehraufgaben
Plus und Minus
machen einander rückgängig
Mal und Geteilt
machen einander rückgängig
Aufgabenfamilie
Rechnungen mit denselben drei Zahlen
Tauschaufgabe
Zahlen tauschen, die Rechenart bleibt gleich
Fehlende Zahl
mit der Umkehraufgabe finden
Probe
Die Umkehraufgabe muss zur Ausgangszahl zurückführen
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Fehlende Zahl in □ · 6 = 42
- 1Mal wird durch Geteilt rückgängig gemacht
- 2Umkehraufgabe: 42 : 6 = 7
- 3Also ist □ = 7
- 4Probe: 7 · 6 = 42 ✓
Fehler finden
Fehlende Zahl in □ − 8 = 15 In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 2Minus wird durch Plus rückgängig gemacht: Die weggenommene 8 kommt wieder dazu. Richtig: 15 + 8 = 23, also □ = 23. Probe: 23 − 8 = 15.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Zur Aufgabe 14 + 5 = 19 passt die Umkehraufgabe 19 − 5 = . Aus Plus wird dabei . Bei einer Tauschaufgabe die Rechenart.
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback