Quadratzahlen verstehen, erkennen und berechnen

Eine Quadratzahl entsteht, wenn du eine ganze Zahl mit sich selbst multiplizierst. Auch 0^2=0 zählt dazu, manche Tabellen beginnen aber erst mit 1^2. Wenn du schon mit negativen Zahlen rechnest: Sie liefern beim Quadrieren dasselbe Ergebnis wie die zugehörigen positiven Zahlen, (-5)^2=(-5)\cdot(-5)=25=5^2. Quadratzahlen sind daher nie negativ. Verwechsle Quadrieren nicht mit Verdoppeln: 3^2=3\cdot3=9 heißt „drei zum Quadrat“, 2\cdot3=3+3=6 ist das Doppelte von drei.

Die Quadratzahlen bis 20^2=400 begegnen dir besonders oft. Das hochgestellte 2 sagt, dass die Zahl zweimal als Faktor vorkommt: 12^2=12\cdot12=144. Größere Zahlen kannst du mit der binomischen Formel (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 zerlegen. Für positive Zahlen mit der Endziffer 5 gibt es einen kurzen Weg: Lass die 5 weg, multipliziere den Rest mit seinem Nachfolger und hänge 25 an. Bei 15^2 bleibt die 1, 1\cdot2=2, also 15^2=225. Der Grund ist (10a+5)^2=100a(a+1)+25.

Eine Quadratzahl kann nur auf 0, 1, 4, 5, 6 oder 9 enden. Endet eine Zahl auf 2, 3, 7 oder 8, ist sie sicher keine Quadratzahl. Die Endziffer des Quadrats hängt nur von der Endziffer der Ausgangszahl ab, du liest sie an den Quadraten von 0 bis 9 ab. 2648 endet auf 8 und ist keine Quadratzahl. 26 endet zwar erlaubt, liegt aber zwischen 5^2=25 und 6^2=36. Genauer prüfst du mit der Primfaktorzerlegung: Du schreibst die Zahl als Produkt von Primzahlen, also Zahlen mit genau zwei Teilern wie 2, 3 und 5. Der Exponent sagt, wie oft ein Faktor vorkommt. Eine Zahl größer als 1 ist genau dann eine Quadratzahl, wenn jeder Primfaktor mit einem geraden Exponenten vorkommt. Beim Quadrieren kommt nämlich jeder Primfaktor doppelt so oft vor. Außerdem haben genau die positiven Quadratzahlen eine ungerade Anzahl von Teilern. Bei 36 sind es neun: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36. Die 6 hat keinen anderen Partner, denn 6\cdot6=36.

Aufeinanderfolgende Quadratzahlen unterscheiden sich immer um eine ungerade Zahl, denn (n+1)^2-n^2=2n+1. Nach 6^2=36 folgt 7^2=49, der Abstand ist 49-36=13. Beginnst du bei 0 und addierst nacheinander 1, 3, 5, …, erreichst du jedes nächste Quadrat. Deshalb gilt n^2=1+3+5+\dots+(2n-1). Eine Vertiefung nutzt die Dreieckszahlen D_n=1+2+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}: Jede positive Quadratzahl ist die Summe zweier aufeinanderfolgender Dreieckszahlen, n^2=D_{n-1}+D_n. Für n=6 gilt D_5+D_6=15+21=36.