Summenzeichen verstehen und sicher berechnen

Betrachte die Summe \sum_{k=1}^{3}x_k=x_1+x_2+x_3. Das große griechische Sigma \sum bedeutet: Addiere die angegebenen Summanden. Du kannst die Formel so lesen: „Summe der Werte x_k für k von 1 bis 3.“ Der tiefgestellte Index bezeichnet dabei die jeweilige Position: x_1, x_2 und x_3. Der Buchstabe des Laufindex ist austauschbar, wenn du ihn innerhalb der Summe konsequent verwendest: \sum_{i=1}^{n}x_i=\sum_{k=1}^{n}x_k. Eine Schreibweise wie \sum_i x_i ist nur eindeutig, wenn der Summationsbereich bereits aus dem Zusammenhang hervorgeht.

Gehe bei einer endlichen Summe immer in drei Schritten vor: Lies die untere und die obere Grenze ab. Setze jeden ganzzahligen Indexwert in den Summanden ein. Addiere die erhaltenen Werte. Bei allgemeinen Grenzen m und n mit m\le n gibt es n-m+1 Indexwerte. Die Summe \sum_{k=7}^{9}k^2 enthält daher 9-7+1=3 Summanden: 7^2+8^2+9^2=49+64+81=194. Für die Summe der ersten n natürlichen Zahlen gibt es eine Abkürzung, die Gaußsche Summenformel: \sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}.

Viele Summen lassen sich vor dem Ausrechnen vereinfachen. Entscheidend ist, dass die Umformung zur Addition passt. Einen konstanten Faktor herausziehen: Ist a unabhängig vom Laufindex, gilt \sum_{i=1}^{n}a x_i=a\sum_{i=1}^{n}x_i. Denn jeder Summand enthält denselben Faktor a. Addition und Subtraktion aufteilen: Für zwei gleich indizierte Folgen gilt \sum_{i=1}^{n}(x_i+y_i)=\sum_{i=1}^{n}x_i+\sum_{i=1}^{n}y_i. Entsprechend darfst du eine Differenz in zwei Summen zerlegen. Klammern helfen dabei, Minuszeichen korrekt zu behandeln. Einen konstanten Summanden zählen: Wird die Zahl c für i=1 bis n addiert, erscheint sie genau n-mal: \sum_{i=1}^{n}c=nc. Bei allgemeinen Grenzen m\le n lautet die Regel \sum_{i=m}^{n}c=(n-m+1)c.

Sind untere und obere Grenze gleich, gibt es genau einen Summanden: \sum_{k=m}^{m}a_k=a_m. Liegt die obere Grenze unter der unteren, enthält die Indexmenge keinen Wert. Diese leere Summe wird als 0 definiert. Allgemein ist eine Summe von Produkten nicht das Produkt zweier Summen: \sum_{i=1}^{n}x_i y_i\ne\left(\sum_{i=1}^{n}x_i\right)\left(\sum_{i=1}^{n}y_i\right). Beim Produkt der beiden Summen wird jedes x_i mit jedem y_j kombiniert. Deshalb entstehen zusätzliche Produkte. Auch die Summe der Quadrate unterscheidet sich vom Quadrat der Summe. Für zwei Werte gilt: x_1^2+x_2^2\ne(x_1+x_2)^2=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2. Das Quadrat der Summe enthält zusätzlich das Kreuzprodukt 2x_1x_2. Eine Doppelsumme enthält zwei Laufindizes. Du berechnest zuerst die innere und danach die äußere Summe: \sum_{i=1}^{2}\sum_{j=1}^{3}(i+j). Für i=1 ergibt die innere Summe 2+3+4=9. Für i=2 ergibt sie 3+4+5=12. Insgesamt ist die Doppelsumme 9+12=21. Bei endlichen Doppelsummen darf die Summationsreihenfolge vertauscht werden. Bei unendlichen Reihen ist das nicht ohne zusätzliche Bedingungen erlaubt. Eine unendliche Reihe ist deshalb nicht bloß eine besonders lange endliche Summe; ihr Wert wird über den Grenzwert ihrer Partialsummen bestimmt, sofern dieser Grenzwert existiert.