Sinus und Cosinus ableiten – Regeln und Beispiele

Die Grundregeln lauten: (\sin x)'=\cos x (\cos x)'=-\sin x Der wichtigste Unterschied ist das Minuszeichen bei der Cosinusableitung. Wiederholtes Ableiten ergibt einen Zyklus aus vier Schritten: \sin x\longrightarrow\cos x\longrightarrow-\sin x\longrightarrow-\cos x\longrightarrow\sin x Danach beginnt der Ablauf von vorn. Diese Formeln gelten in dieser einfachen Form, wenn x im Bogenmaß gemessen wird. Bei Winkelangaben in Grad musst du zuerst ins Bogenmaß umrechnen.

Bei f(x)=\sin(g(x)) ist g(x) die innere Funktion. Du leitest außen ab, lässt den inneren Ausdruck zunächst stehen und multiplizierst dann mit seiner Ableitung: f'(x)=g'(x)\cos(g(x)) Für eine verkettete Cosinusfunktion gilt entsprechend: \bigl(\cos(g(x))\bigr)'=-g'(x)\sin(g(x))

Summen und konstante Faktoren behandelst du wie bei anderen Funktionen: Du leitest Summanden einzeln ab, konstante Faktoren bleiben stehen. Auch Potenz- und Kettenregel können zusammen auftreten. Bei f(x)=\cos^2x, also f(x)=(\cos x)^2, ergibt sich: f'(x)=2\cos x\cdot(-\sin x)=-2\sin x\cos x

Achte beim Ableiten auf drei Fragen: Ist die äußere Funktion Sinus oder Cosinus? Was steht vollständig in der Klammer und ist damit die innere Funktion? Welche weitere Regel brauchst du, etwa Summen-, Faktor- oder Potenzregel? Verwechsle nicht \sin(x^2) mit \sin^2x: Bei \sin(x^2) steht x^2 im Sinus. Daher ist die Ableitung 2x\cos(x^2). Bei \sin^2x=(\sin x)^2 wird der ganze Sinus quadriert. Daher ist die Ableitung 2\sin x\cos x.