Mathematik · Klasse 11–12 · aktualisiert
Sattelpunkt berechnen: Kriterien und Beispiel
Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente. Du lernst, ihn mit Ableitungen nachzuweisen und von Extrem- und Wendepunkten zu trennen.
0 von 10 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente. An seiner Stelle x_0 gilt f'(x_0)=0 und f''(x_0)=0, zusätzlich muss die Krümmung wechseln, zum Beispiel nachgewiesen durch f'''(x_0)\ne 0. So hat f(x)=x^3 den Sattelpunkt S(0\mid 0).
Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente. An der Stelle x_0 gilt also f'(x_0)=0, zugleich wechselt dort die Krümmung. Du lernst, beide Eigenschaften zu prüfen, die Koordinaten zu berechnen und einen Sattelpunkt von einem Extrempunkt zu unterscheiden.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Stell dir einen Graphen vor, der steigt, kurz ganz flach wird und danach weiter steigt. Die Tangente ist an dieser einen Stelle waagerecht, doch es entsteht weder ein Hochpunkt noch ein Tiefpunkt. Zugleich ändert der Graph dort seine Krümmung. Ein gewöhnlicher Wendepunkt darf eine Tangente mit beliebiger Steigung besitzen. Beim Sattelpunkt kommt die Steigung 0 hinzu.
Definition
Sattelpunkt
Ein Sattelpunkt, auch Terrassenpunkt oder Horizontalwendepunkt, ist ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente. Für seine Stelle x_0 gilt f'(x_0)=0. Seine Koordinaten sind S(x_0\mid f(x_0)).
Merke: Sattelpunkt = Wendepunkt + waagerechte Tangente. Nur eine waagerechte Tangente reicht nicht aus, denn auch ein Extrempunkt kann eine solche Tangente haben.
Teste dich
Für eine dreimal differenzierbare Funktion gehst du so vor: Berechne f', f'' und f'''. Löse f''(x)=0. Die Lösungen sind zunächst nur Kandidaten für Wendestellen. Gilt f'''(x_0)\ne 0, ist der Krümmungswechsel nachgewiesen. Prüfe dann die waagerechte Tangente mit f'(x_0)=0. Berechne zum Schluss y_0=f(x_0) und gib S(x_0\mid y_0) an. Der Test f'''(x_0)\ne 0 ist hinreichend, aber nicht notwendig. Ergibt sich f'''(x_0)=0, kann trotzdem ein Sattelpunkt vorliegen. Prüfe dann, ob f'' links und rechts von x_0 verschiedene Vorzeichen hat. Dieser Vorzeichenwechsel zeigt den Krümmungswechsel.
Beispiel: Sattelpunkt von f(x)=x^3
- 1Ableitungen: f'(x)=3x^2, f''(x)=6x, f'''(x)=6
- 2Kandidat: f''(x)=0 \Rightarrow 6x=0 \Rightarrow x_0=0
- 3Wendepunkt: f'''(0)=6\ne 0
- 4Waagerechte Tangente: f'(0)=3\cdot 0^2=0
- 5Koordinaten: f(0)=0, also S(0\mid 0)
Teste dich
Aus f'(x_0)=0 und f''(x_0)=0 darfst du noch nicht auf einen Sattelpunkt schließen. Das Gegenbeispiel g(x)=x^4 zeigt den Grund: An der Stelle 0 sind beide Ableitungen null, trotzdem liegt dort ein Tiefpunkt. Die zweite Ableitung wechselt ihr Vorzeichen nicht, die Krümmung bleibt also gleich.
Beispiel: Gegenbeispiel g(x)=x^4
- 1g'(x)=4x^3, g''(x)=12x^2, g'''(x)=24x
- 2g'(0)=0 und g''(0)=0, aber auch g'''(0)=0
- 3g''(x)=12x^2 ist links und rechts von 0 positiv: kein Vorzeichenwechsel
- 4Wegen g(x)\ge 0=g(0) ist der Ursprung ein Tiefpunkt.
Merke: Die Gleichungen f'(x_0)=0 und f''(x_0)=0 liefern nur einen Kandidaten. Du musst den Krümmungswechsel zusätzlich nachweisen.
Teste dich
Ein gewöhnlicher Wendepunkt darf eine Tangente mit beliebiger Steigung haben, ein Extrempunkt hat eine waagerechte Tangente, aber keinen Krümmungswechsel. Nur beim Sattelpunkt kommt beides zusammen. Untersuche zum Beispiel h(x)=x^3-3x an der Stelle x_0=0. Die Ableitungen lauten h'(x)=3x^2-3, h''(x)=6x und h'''(x)=6.
| Punktart | Tangente | Krümmungswechsel |
|---|---|---|
| Hoch- oder Tiefpunkt | waagerecht, f'(x_0)=0 | nein |
| Wendepunkt | beliebige Steigung | ja |
| Sattelpunkt | waagerecht, f'(x_0)=0 | ja |
Teste dich
Alles auf einen Blick
Sattelpunkt
Wendepunkt
Krümmung wechselt
Tangente
f'(x_0)=0
Standardnachweis
f''(x_0)=0 und f'''(x_0)\ne0
Alternative
Vorzeichenwechsel von f''
Koordinaten
S(x_0\mid f(x_0))
Abgrenzung
kein Hoch- oder Tiefpunkt
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Sattelpunkt von f(x)=x^3-3x^2+3x
- 1f'(x)=3x^2-6x+3, f''(x)=6x-6, f'''(x)=6
- 2f''(x)=0 \Rightarrow 6x-6=0 \Rightarrow x_0=1
- 3f'''(1)=6\ne 0, also eine Wendestelle
- 4f'(1)=3-6+3=0, also eine waagerechte Tangente
- 5f(1)=1-3+3=1, der Sattelpunkt ist S(1\mid 1)
Fehler finden
Hat f(x)=x^4+2 bei x_0=0 einen Sattelpunkt? In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3Aus f'(0)=0 und f''(0)=0 folgt noch kein Krümmungswechsel. f''(x)=12x^2 ist links und rechts von 0 positiv, also ist T(0\mid 2) ein Tiefpunkt.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Für einen Sattelpunkt brauchst du einen und eine Tangente. Den Wendepunkt bestätigt der Test .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback