Mathematik · Klasse 11–12 · aktualisiert
Stochastische Unabhängigkeit prüfen
Unabhängig heißt: Das eine Ereignis ändert die Chance des anderen nicht. Du lernst, das mit Produktregel und bedingter Wahrscheinlichkeit zu prüfen.
0 von 11 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Zwei Ereignisse A und B sind stochastisch unabhängig, wenn P(A \cap B)=P(A)\cdot P(B) gilt. Dann ändert das Wissen über B die Wahrscheinlichkeit von A nicht: P(A\mid B)=P(A). Beim Würfel sind „ungerade“ und „kleiner als 5“ unabhängig, denn \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}=\frac{1}{3}.
Zwei Ereignisse sind stochastisch unabhängig, wenn die Information über das eine Ereignis die Wahrscheinlichkeit des anderen nicht verändert. Rechnerisch prüfst du, ob die gemeinsame Wahrscheinlichkeit gleich dem Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten ist.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Betrachte zwei Ereignisse A und B. Erfährst du, dass B eingetreten ist, kann sich deine Einschätzung von A ändern. Bleibt die Wahrscheinlichkeit von A dagegen gleich, sind die Ereignisse unabhängig. Die Gleichung P(A \cap B)=P(A)\cdot P(B) ist die allgemeine Definition. Sie gilt auch dann als Prüfkriterium, wenn eines der Ereignisse die Wahrscheinlichkeit null hat.
Definition
Stochastische Unabhängigkeit
Die Ereignisse A und B heißen stochastisch unabhängig, wenn P(A \cap B)=P(A)\cdot P(B). Dabei bezeichnet A \cap B das gemeinsame Ereignis: A und B treten beide ein.
Merke: Unabhängigkeit bedeutet: Die gemeinsame Wahrscheinlichkeit ist genau so groß, wie es das Produkt der beiden Einzelwahrscheinlichkeiten erwarten lässt.
Teste dich
Gehe immer in vier Schritten vor: Definiere die Ereignisse A und B eindeutig. Bestimme P(A), P(B) und P(A \cap B). Berechne P(A)\cdot P(B). Vergleiche das Produkt mit P(A \cap B). Sind beide Werte gleich, sind die Ereignisse unabhängig. Sind sie verschieden, sind sie abhängig.
Beispiel: Ungerade und kleiner als 5 beim Würfel
- 1A: „Die Augenzahl ist ungerade“, also A=\{1,3,5\}.
- 2B: „Die Augenzahl ist kleiner als 5“, also B=\{1,2,3,4\}.
- 3P(A)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2} und P(B)=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}
- 4A \cap B=\{1,3\}, also P(A \cap B)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}
- 5P(A)\cdot P(B)=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}=\frac{1}{3}
- 6Das Produkt stimmt mit P(A \cap B) überein: A und B sind unabhängig.
Teste dich
Die bedingte Wahrscheinlichkeit P(A\mid B) beantwortet die Frage: Wie wahrscheinlich ist A, wenn bereits bekannt ist, dass B eingetreten ist? Für P(B)>0 gilt: P(A\mid B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}. Sind A und B unabhängig, kannst du die Produktregel einsetzen: P(A\mid B)=\frac{P(A)\cdot P(B)}{P(B)}=P(A). Die Zusatzinformation B verändert die Wahrscheinlichkeit von A also nicht. Entsprechend gilt bei P(A)>0 auch P(B\mid A)=P(B). Beim Ziehen mit Zurücklegen wird die ursprüngliche Zusammensetzung wiederhergestellt. Die Wahrscheinlichkeiten bleiben von Zug zu Zug gleich. Beim Ziehen ohne Zurücklegen verändert der erste Zug die Zusammensetzung und damit gewöhnlich die späteren Wahrscheinlichkeiten.
Merke: Bei positiven Nennern kannst du Unabhängigkeit auf zwei gleichwertige Arten prüfen: P(A \cap B)=P(A)\cdot P(B) oder P(A\mid B)=P(A).
Beispiel: Zwei Züge ohne Zurücklegen
- 1Urne: 6 rote und 4 schwarze Kugeln, zwei Züge ohne Zurücklegen
- 2A: erster Zug schwarz, P(A)=\frac{4}{10}
- 3B: zweiter Zug rot
- 4P(B)=\frac{4}{10}\cdot\frac{6}{9}+\frac{6}{10}\cdot\frac{5}{9}=\frac{3}{5}
- 5Nach Schwarz liegen noch 6 rote unter 9 Kugeln: P(B\mid A)=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}
- 6Da \frac{2}{3}\neq\frac{3}{5} ist, sind A und B abhängig.
Teste dich
Unabhängigkeit ist nicht Unvereinbarkeit: Unvereinbare Ereignisse können nicht gemeinsam eintreten. Dann gilt A \cap B=\varnothing und damit P(A \cap B)=0. Haben beide unvereinbaren Ereignisse eine positive Wahrscheinlichkeit, ist ihr Produkt P(A)P(B)>0. Die Produktregel ist dann nicht erfüllt: Die Ereignisse sind abhängig. Nur wenn mindestens eines der Ereignisse Wahrscheinlichkeit null hat, können unvereinbare Ereignisse zugleich unabhängig sein. Abhängigkeit beweist keine Ursache: Stochastische Abhängigkeit beschreibt einen mathematischen Zusammenhang. Sie beweist nicht, dass ein Ereignis das andere verursacht. Weitere Einflüsse können beide Ereignisse betreffen. Vertiefung: Drei Ereignisse: Bei drei Ereignissen reicht es nicht, nur jedes Paar zu prüfen. Für vollständige Unabhängigkeit müssen die Produktregeln für alle Paare gelten. Zusätzlich muss gelten: P(A \cap B \cap C)=P(A)\cdot P(B)\cdot P(C).
| Begriff | Bedeutung | Rechnerisch |
|---|---|---|
| Unabhängig | Das Wissen über B ändert P(A) nicht. | P(A \cap B)=P(A)\cdot P(B) |
| Unvereinbar | A und B treten nie gemeinsam ein. | P(A \cap B)=0 |
| Abhängig | Das Wissen über B ändert P(A). | P(A \cap B)\neq P(A)\cdot P(B) |
Teste dich
Alles auf einen Blick
Stochastische Unabhängigkeit
Bedeutung
Eine Zusatzinformation verändert keine Wahrscheinlichkeit
Produktprüfung
Schnittwahrscheinlichkeit mit dem Produkt vergleichen
Bedingte Prüfung
bedingte und unbedingte Wahrscheinlichkeit vergleichen
Abhängigkeit
Ungleichheit beim gewählten Prüfkriterium
Abgrenzung
Unvereinbarkeit ist nicht Unabhängigkeit
Interpretation
Abhängigkeit ist kein Kausalitätsbeweis
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Sport und Instrument: unabhängig?
- 1Von 200 Lernenden treiben 120 Sport (A), 50 spielen ein Instrument (B), 30 tun beides. Eine Person wird zufällig gewählt.
- 2P(A)=\frac{120}{200}=0{,}6 und P(B)=\frac{50}{200}=0{,}25
- 3P(A \cap B)=\frac{30}{200}=0{,}15
- 4P(A)\cdot P(B)=0{,}6\cdot0{,}25=0{,}15
- 5Beide Werte sind gleich, also sind A und B unabhängig.
- 6Kontrolle: P(A\mid B)=\frac{30}{50}=0{,}6=P(A)
Fehler finden
Zweimal Rot ohne Zurücklegen In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3Nach einer roten Kugel liegen nur noch 2 rote unter 4 Kugeln. Richtig: P(\text{2. Zug rot} \mid \text{1. Zug rot})=\frac{2}{4}, also P(\text{beide rot})=\frac{3}{5}\cdot\frac{2}{4}=\frac{3}{10}.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Zwei Ereignisse sind unabhängig, wenn P(A \cap B) gleich dem der Einzelwahrscheinlichkeiten ist. Dann ist die bedingte Wahrscheinlichkeit P(A\mid B) gleich . Beim Ziehen Zurücklegen sind die Züge gewöhnlich abhängig.
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback