Satz von Bayes einfach erklärt und angewendet

Eine bedingte Wahrscheinlichkeit betrachtet nur die Fälle, in denen die Bedingung bereits erfüllt ist. Bei einem medizinischen Test sind diese beiden Fragen verschieden: P(\text{positiv}\mid\text{krank}) fragt, wie oft der Test bei kranken Personen positiv ist. P(\text{krank}\mid\text{positiv}) fragt, wie viele der positiv getesteten Personen tatsächlich krank sind. Die zweite Wahrscheinlichkeit lässt sich nicht allein aus der ersten ablesen.

Für Ereignisse A und B mit P(A)>0 und P(B)>0 gilt: P(A\mid B)=\frac{P(B\mid A)\cdot P(A)}{P(B)} Die Bedingung P(B)>0 ist nötig, weil nicht durch null geteilt werden darf. P(A)>0 braucht es, damit P(B\mid A) definiert ist. Die Formel folgt aus zwei Blickrichtungen auf dieselbe Schnittmenge A\cap B: Es gilt P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)} und P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}. Aus der zweiten Gleichung folgt P(A\cap B)=P(B\mid A)\cdot P(A). Setzt du das in die erste Gleichung ein, erhältst du die Bayes-Formel.

In vielen Aufgaben ist P(B) nicht direkt angegeben. Dann zerlegst du alle Fälle, in denen B eintreten kann. Für A und das Gegenereignis A^{\mathrm c} gilt der Satz der totalen Wahrscheinlichkeit: P(B)=P(B\mid A)P(A)+P(B\mid A^{\mathrm c})P(A^{\mathrm c}) Dabei ist P(A^{\mathrm c})=1-P(A). Eingesetzt entsteht die häufig verwendete Form: P(A\mid B)=\frac{P(B\mid A)P(A)}{P(B\mid A)P(A)+P(B\mid A^{\mathrm c})P(A^{\mathrm c})} Beispiel mit zwei Urnen: Urne A enthält sieben rote und drei weiße Kugeln, Urne B eine rote und neun weiße. Beide Urnen werden mit Wahrscheinlichkeit \frac12 gewählt. Eine gezogene Kugel ist rot. Wie wahrscheinlich stammt sie aus Urne A? Mit natürlichen Häufigkeiten siehst du es auch ohne Formel: Bei 20 Ziehungen mit Zurücklegen wird jede Urne im Mittel zehnmal gewählt. Aus A kommen sieben rote Kugeln, aus B eine. Von acht roten Kugeln stammen sieben aus A.

Die Basisrate ist die unbedingte Wahrscheinlichkeit P(A) vor der neuen Beobachtung. Bei Krankheiten heißt sie oft Prävalenz. Eine hohe Trefferquote des Tests bei Kranken (die Sensitivität) beantwortet allein nicht, wie wahrscheinlich eine Krankheit nach einem positiven Ergebnis ist. Mit Häufigkeiten wird das deutlich: Unter 100.000 Personen sind 20 krank, davon werden 19 positiv getestet. Von 99.980 Gesunden erhalten ungefähr 1.000 ein falsch positives Ergebnis. Unter etwa 1.019 positiven Ergebnissen sind damit nur 19 tatsächlich Kranke. Ein positives Ergebnis beweist also weder eine Krankheit noch eine Ursache. Der berechnete Wert gilt nur für die angegebenen Basisraten und Testwahrscheinlichkeiten.