Mathematik · Klasse 11–12 · aktualisiert
Steckbriefaufgaben lösen: Methode und Beispiele
Du lernst, Eigenschaften eines Graphen in Gleichungen zu übersetzen, den Funktionsterm zu bestimmen und ihn mit einer Probe zu sichern.
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Kurz gesagt
Bei einer Steckbriefaufgabe bestimmst du einen Funktionsterm aus Eigenschaften seines Graphen. Du wählst einen Ansatz wie f(x)=ax^3+bx^2+cx+d, übersetzt jede Angabe in eine Gleichung mit f, f' oder f'' und löst das Gleichungssystem. Zum Schluss prüfst du alle Vorgaben mit einer Probe.
Bei einer Steckbriefaufgabe rekonstruierst du einen Funktionsterm aus Eigenschaften seines Graphen. Dazu wählst du einen passenden Ansatz, übersetzt jede Angabe in eine Gleichung, bestimmst die unbekannten Parameter und prüfst das Ergebnis.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Eine Steckbriefaufgabe kehrt die Kurvendiskussion um: Du startest nicht mit dem Funktionsterm, sondern mit Eigenschaften des Graphen. Erkenne zuerst die Funktionsart und stelle einen Ansatz auf, für ein Polynom dritten Grades etwa f(x)=ax^3+bx^2+cx+d. Zähle die Parameter: a, b, c und d verlangen vier unabhängige Bedingungen. Bilde die Ableitungen, übersetze jede Angabe in eine Gleichung mit f, f' oder f'' und löse das Gleichungssystem. Zum Schluss machst du die Probe mit allen Vorgaben. Unabhängig heißt: Jede Bedingung liefert neue Information. Zwei gleichwertige Gleichungen zählen nur einmal.
Definition
Steckbriefaufgabe
Bei einer Steckbriefaufgabe rekonstruierst du einen Funktionsterm aus Eigenschaften seines Graphen, zum Beispiel aus Punkten, Steigungen, Extrem- und Wendepunkten.
Merke: Ein allgemeines Polynom vom Grad n besitzt n+1 Koeffizienten. Daher brauchst du normalerweise n+1 unabhängige Bedingungen.
Teste dich
Ein Punkt P(x_P\mid y_P) auf dem Graphen liefert die Bedingung f(x_P)=y_P. Angaben über die Steigung gehören zur ersten Ableitung, Angaben über die Krümmung zur zweiten. Eine Tangente, die parallel zur Geraden y=mx+n verläuft, hat dieselbe Steigung: An der Stelle gilt f'(x)=m, der Achsenabschnitt n spielt keine Rolle. Schneidet der Graph die x-Achse bei x_0, gilt f(x_0)=0. Berührt er sie mit waagrechter Tangente, kommt f'(x_0)=0 hinzu. Das sind notwendige Bedingungen: Ob der Graph dort wirklich schneidet oder berührt, prüfst du nach dem Lösen.
| Angabe | Mathematische Bedingung |
|---|---|
| Punkt P(x_P\mid y_P) | f(x_P)=y_P |
| Nullstelle bei x_0 | f(x_0)=0 |
| y-Achsenabschnitt y_0 | f(0)=y_0 |
| Steigung m bei x_M | f'(x_M)=m |
| Waagrechte Tangente bei x_E | f'(x_E)=0 |
| Vollständig angegebener Extrempunkt E(x_E\mid y_E) | f(x_E)=y_E und f'(x_E)=0 |
| Mögliche Wendestelle bei x_W | f''(x_W)=0 |
Beispiel: Punkt P(2\mid8) mit der Steigung 12
- 1Punktlage: f(2)=8
- 2Steigung: f'(2)=12
- 3Zwei verschiedene Informationen, also zwei Bedingungen.
Teste dich
Bei Achsensymmetrie zur y-Achse gilt f(-x)=f(x). Ein Polynom enthält dann nur gerade Potenzen, für den Grad 4 genügt f(x)=ax^4+cx^2+e. Bei Punktsymmetrie zum Ursprung gilt f(-x)=-f(x). Dann bleiben nur ungerade Potenzen, für den Grad 3 lautet der Ansatz f(x)=ax^3+cx. Sind Nullstellen bekannt, ist die faktorisierte Form besonders kurz.
Beispiel: Quadratische Funktion mit den Nullstellen 1 und 2 durch P(3\mid-2)
- 1Ansatz: f(x)=a(x-1)(x-2)
- 2P einsetzen: -2=a(3-1)(3-2)=2a
- 3a=-1
- 4f(x)=-(x-1)(x-2)=-x^2+3x-2
Merke: Nutze Symmetrie und bekannte Nullstellen vor dem Aufstellen des Gleichungssystems. Dadurch entfallen unnötige Parameter und Gleichungen.
Teste dich
Gesucht ist eine ganzrationale Funktion vierten Grades. Ihr Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse, hat die Nullstelle x=2 und den Hochpunkt H(1\mid9). Wegen der Symmetrie hat der Ansatz nur drei Parameter, also reichen drei Bedingungen. Nach dem Lösen prüfst du, ob die Bezeichnungen wirklich stimmen: f'(x_E)=0 ist nur eine notwendige Bedingung. Bei f(x)=x^3 gilt zum Beispiel f'(0)=0, doch bei x=0 liegt kein Extrempunkt. Genauso beweist f''(x_W)=0 allein keinen Wendepunkt: Die Krümmung muss wechseln, bei Polynomen reicht dafür zusätzlich f'''(x_W)\ne0. Und f(x_0)=0 mit f'(x_0)=0 beweist noch keine Berührung: Prüfe, ob f links und rechts von x_0 das Vorzeichen wechselt. Wechselt es, schneidet der Graph die Achse; bleibt es gleich, berührt er sie.
Beispiel: Grad 4, achsensymmetrisch, Nullstelle x=2, Hochpunkt H(1\mid9)
- 1Ansatz: f(x)=ax^4+cx^2+e und f'(x)=4ax^3+2cx
- 2f(2)=0: 16a+4c+e=0
- 3f(1)=9: a+c+e=9
- 4f'(1)=0: 4a+2c=0, also c=-2a
- 5In die zweite Gleichung: e=9+a
- 6In die erste Gleichung: 16a-8a+9+a=0, also 9a=-9 und a=-1
- 7Damit c=2, e=8 und f(x)=-x^4+2x^2+8
- 8Probe: f(2)=-16+8+8=0, f(1)=-1+2+8=9, f'(1)=-4+4=0
- 9f''(x)=-12x^2+4, f''(1)=-8<0: H(1\mid9) ist wirklich ein Hochpunkt.
| Nach f′(x) = 0 gilt | Folgerung |
|---|---|
| f''(x_E)<0 | Hochpunkt |
| f''(x_E)>0 | Tiefpunkt |
| f''(x_E)=0 | keine Entscheidung: Vorzeichenwechsel von f' prüfen |
Merke: Stelle das Gleichungssystem mit den Angaben aus dem Text auf. Prüfe nach dem Lösen, ob „Hochpunkt“, „Tiefpunkt“, „Wendepunkt“, „Schneiden“ oder „Berühren“ wirklich erfüllt sind.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Steckbriefaufgaben
Ansatz wählen
Funktionsart, Symmetrie, Nullstellen
Parameter zählen
genügend unabhängige Bedingungen sichern
Angaben übersetzen
Punkte in f, Steigungen in f', Krümmung in f''
Gleichungssystem lösen
Parameter bestimmen
Funktion angeben
Parameter in den Ansatz einsetzen
Probe durchführen
alle Vorgaben und den Punktcharakter prüfen
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Grad 3: durch den Ursprung, waagrechte Tangente bei x=1, Wendepunkt W(\frac{2}{3}\mid\frac{2}{27})
- 1Ansatz: f(x)=ax^3+bx^2+cx+d, f'(x)=3ax^2+2bx+c, f''(x)=6ax+2b
- 2Ursprung: f(0)=0, also d=0
- 3Waagrechte Tangente: f'(1)=0, also 3a+2b+c=0
- 4Wendestelle: f''(\frac{2}{3})=0, also 4a+2b=0
- 5Punkt W: f(\frac{2}{3})=\frac{2}{27}, also \frac{8}{27}a+\frac{4}{9}b+\frac{2}{3}c=\frac{2}{27}
- 6Lösung: a=1, b=-2, c=1, d=0
- 7f(x)=x^3-2x^2+x. Wegen f'''(x)=6\ne0 ist W wirklich ein Wendepunkt.
Fehler finden
Parabel mit Scheitelpunkt S(2\mid1) durch P(0\mid5) In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3Am Scheitelpunkt ist die Tangente waagrecht: f'(2)=0, also 4a+b=0. Die 1 ist die y-Koordinate und steckt schon in f(2)=1. Damit folgen b=-4, a=1 und f(x)=x^2-4x+5.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Der Ursprung liefert . Eine waagrechte Tangente bei x=1 liefert . Eine mögliche Wendestelle bei x=2/3 liefert .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback