Streuung: Spannweite, Varianz und Standardabweichung

Vergleiche die beiden Datenreihen: Reihe A: 10, 20, 30. Reihe B: 19, 20, 21. Beide Reihen haben den Mittelwert 20. In Reihe A liegen die äußeren Werte jedoch jeweils 10 vom Mittelwert entfernt. In Reihe B beträgt dieser Abstand nur 1. Reihe A streut daher stärker. Die Abweichung eines Wertes x_i vom Mittelwert \bar x lautet: x_i-\bar x Eine einfache Addition dieser Abweichungen ist kein Streumaß. Sie ergibt immer 0, weil sich positive und negative Abweichungen ausgleichen: \sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)=0 Deshalb verwenden Streumaße beispielsweise Beträge oder Quadrate der Abweichungen.

Die Spannweite ist das einfachste Streumaß. Du ziehst den kleinsten Wert vom größten Wert ab: R=x_{\max}-x_{\min} Die Spannweite ist schnell berechnet, verwendet aber nur Minimum und Maximum. Ein einzelner ungewöhnlich großer oder kleiner Wert kann sie stark verändern. Solch ein weit von den übrigen Werten entfernter Wert heißt Ausreißer.

Die Spannweite betrachtet nur zwei Werte. Varianz und Standardabweichung berücksichtigen dagegen die Abweichung jedes Wertes vom Mittelwert. Für eine vollständig beschriebene Datenreihe gehst du so vor: Berechne den Mittelwert \bar x. Bestimme jede Abweichung x_i-\bar x. Quadriere die Abweichungen, damit sie nicht negativ sind. Addiere die Quadrate und teile durch die Anzahl n der Werte. Das ergibt die Varianz. Ziehe aus der Varianz die Quadratwurzel. Das ergibt die Standardabweichung. Die Varianz hat die quadrierte Einheit der Daten. Bei Längen in Zentimetern lautet ihre Einheit also \mathrm{cm}^2. Die Standardabweichung besitzt wieder die ursprüngliche Einheit \mathrm{cm} und lässt sich deshalb meist leichter im Sachzusammenhang deuten.

Kein Streumaß ist für jede Situation gleich gut geeignet. Die Spannweite liefert einen schnellen Überblick, reagiert aber stark auf Ausreißer. Die Standardabweichung berücksichtigt alle Werte, reagiert wegen der Quadrate jedoch ebenfalls deutlich auf Ausreißer. Der Interquartilsabstand betrachtet die mittleren 50\,\% der sortierten Daten und ist gegenüber einzelnen Extremwerten weniger empfindlich. Der Variationskoeffizient vergleicht die Streuung von Datenreihen mit unterschiedlichen Größenordnungen. Der Interquartilsabstand ist die Differenz zwischen dem oberen Quartil Q_3 und dem unteren Quartil Q_1: \mathrm{IQR}=Q_3-Q_1 Quartile teilen sortierte Daten in vier Bereiche. Wie einzelne Quartile bei bestimmten Anzahlen von Werten bestimmt werden, kann von der verwendeten Konvention abhängen. Für einen Vergleich musst du daher bei allen Datensätzen dieselbe Methode verwenden. Relative Streuung vergleichen: Absolute Streumaße besitzen eine Einheit. Für Vergleiche unterschiedlicher Größenordnungen kann der dimensionslose Variationskoeffizient sinnvoll sein: V=\frac{s}{\bar x}\cdot100\,\% Dabei muss der Mittelwert positiv und als Bezugsgröße sinnvoll sein. Vertiefung: Warum steht manchmal n-1 in der Formel? Beschreibst du nur die vorliegenden Daten, wird die Varianz durch n geteilt. Soll eine unabhängige Stichprobe zur Schätzung der Varianz einer größeren Grundgesamtheit dienen, wird häufig durch n-1 geteilt: s_k^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)^2 Darum können Taschenrechner oder Programme für dieselben Daten unterschiedliche Ergebnisse anzeigen. Prüfe immer die verwendete Formel; das Symbol allein verrät den Divisor nicht zuverlässig.