Mathematik · Klasse 8–9 · aktualisiert
Achteck: Eigenschaften, Winkel und Fläche berechnen
Ein Achteck hat acht Seiten und acht Ecken. Du lernst, regelmäßige Achtecke zu erkennen und ihre Winkel, ihren Umfang und ihre Fläche zu berechnen.
0 von 13 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Ein Achteck ist ein Vieleck mit acht Seiten und acht Ecken. Beim regelmäßigen Achteck sind alle Seiten gleich lang und alle Innenwinkel 135° groß. Mit der Seitenlänge a gilt für den Umfang U = 8a und für die Fläche A = 2(1+\sqrt{2})\,a^2.
Ein Stoppschild hat die Form eines Achtecks, genau wie viele Pavillons und Tischplatten. Ein Achteck ist ein Vieleck mit acht Seiten und acht Ecken. Bevor du rechnest, prüfst du, ob es regelmäßig ist: Nur dann sind alle Seiten und alle Innenwinkel gleich groß, und nur dann gelten die Formeln für Innenwinkel, Umfang, Fläche, Radien und Diagonalen auf dieser Seite.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Achtecke können ganz verschieden aussehen. Ein konvexes Achteck hat nur Innenwinkel unter 180°. Ein konkaves Achteck hat mindestens einen Innenwinkel über 180°, also eine nach innen geknickte Ecke. Bei einem überschlagenen Achteck schneiden sich Seiten. Bei einem Sehnenachteck liegen alle Ecken auf einem gemeinsamen Kreis, die Seiten müssen aber nicht gleich lang sein. Ein regelmäßiges Achteck ist immer konvex. Ein Achteck mit acht gleich langen Seiten ist dagegen nicht automatisch regelmäßig: Auch die Innenwinkel müssen gleich groß sein.
Definition
Achteck
Ein Achteck, auch Oktogon oder Oktagon, ist ein geschlossenes Vieleck mit acht geraden Seiten und acht Ecken.
Merke: Regelmäßig heißt: Alle Seiten sind gleich lang und alle Innenwinkel sind gleich groß.
Teste dich
Verbindest du den Mittelpunkt eines regelmäßigen Achtecks mit allen Ecken, entstehen acht deckungsgleiche, gleichschenklige Dreiecke. Der Vollwinkel am Mittelpunkt wird gleichmäßig aufgeteilt: Jeder Mittelpunktswinkel ist 360° : 8 = 45°. Diese Idee nutzt du auch beim Konstruieren. Zeichne einen Kreis mit zwei senkrechten Durchmessern und halbiere die vier rechten Winkel am Mittelpunkt. Die acht Schnittpunkte mit dem Kreis verbindest du der Reihe nach. Gleiche Mittelpunktswinkel schneiden gleich lange Sehnen ab. So entstehen acht gleich lange Seiten und acht gleich große Innenwinkel: ein regelmäßiges Achteck.
Beispiel: Innenwinkel des regelmäßigen Achtecks berechnen
- 1Mittelpunktswinkel: 360° : 8 = 45°
- 2Beide Basiswinkel eines Mittelpunktsdreiecks zusammen: 180° − 45° = 135°
- 3Ein Basiswinkel: 135° : 2 = 67,5°
- 4An jeder Ecke treffen zwei Basiswinkel zusammen: 2 · 67,5° = 135°
Merke: Innenwinkelsumme jedes nicht überschlagenen Achtecks: (8 − 2) · 180° = 1080°. Beim regelmäßigen Achteck ist jeder Innenwinkel 1080° : 8 = 135° groß.
Teste dich
Nenne die Seitenlänge a. Weil das regelmäßige Achteck acht gleich lange Seiten hat, gilt für den Umfang U = 8a. Für die Fläche hilft wieder die Zerlegung in acht Mittelpunktsdreiecke. Ihre Höhe ist der Inkreisradius r, der Abstand vom Mittelpunkt zur Mitte einer Seite. Ein Dreieck hat die Fläche A_\triangle = \frac{a \cdot r}{2}, alle acht zusammen A = 8 \cdot \frac{a \cdot r}{2} = \frac{U \cdot r}{2}. Setzt du r = \frac{1}{2}(1+\sqrt{2})\,a ein, erhältst du eine Formel, die nur die Seitenlänge braucht: A = 2(1+\sqrt{2})\,a^2.
Beispiel: Umfang und Fläche bei a = 5\,\mathrm{cm}
- 1U = 8 \cdot 5\,\mathrm{cm} = 40\,\mathrm{cm}
- 2A = 2(1+\sqrt{2}) \cdot (5\,\mathrm{cm})^2
- 3A = 50(1+\sqrt{2})\,\mathrm{cm}^2 \approx 120{,}71\,\mathrm{cm}^2
- 4Der Umfang ist eine Länge (cm), die Fläche ist zweidimensional (cm²).
Merke: Die Formel A = 2(1+\sqrt{2})\,a^2 gilt nur für regelmäßige Achtecke. Verdoppelst du die Seitenlänge, wird die Fläche viermal so groß, weil a quadriert wird.
Teste dich
Der Umkreisradius R führt vom Mittelpunkt zu einer Ecke, der Inkreisradius r senkrecht zur Mitte einer Seite. Eine Diagonale verbindet zwei nicht benachbarte Ecken. Von jeder der 8 Ecken gehen 5 Diagonalen aus, und jede wird dabei doppelt gezählt: \frac{8 \cdot (8-3)}{2} = 20. Beim regelmäßigen Achteck gibt es drei verschiedene Diagonalenlängen. Die lange Diagonale verbindet gegenüberliegende Ecken, läuft durch den Mittelpunkt und ist deshalb der Durchmesser des Umkreises: d_{\mathrm{l}} = 2R. Die mittlere Diagonale ist doppelt so lang wie der Inkreisradius: d_{\mathrm{m}} = 2r.
| Strecke | Formel mit Seitenlänge a |
|---|---|
| Inkreisradius | r = \frac{1}{2}(1+\sqrt{2})\,a |
| Umkreisradius | R = \frac{\sqrt{4+2\sqrt{2}}}{2}\,a |
| kurze Diagonale | d_{\mathrm{k}} = a\sqrt{2+\sqrt{2}} |
| mittlere Diagonale | d_{\mathrm{m}} = (1+\sqrt{2})\,a = 2r |
| lange Diagonale | d_{\mathrm{l}} = \sqrt{4+2\sqrt{2}}\,a = 2R |
Merke: Der Umkreis geht durch die Ecken, der Inkreis berührt die Seiten. Die lange Diagonale ist doppelt so lang wie der Umkreisradius.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Achteck
Definition
acht Seiten und acht Ecken
Regelmäßig
gleiche Seiten und gleiche Innenwinkel
Winkel
Mittelpunktswinkel 45°, Innenwinkel 135°
Umfang und Fläche
U = 8a und A = 2(1+\sqrt{2})\,a^2
Kreise
Umkreisradius zur Ecke, Inkreisradius zur Seitenmitte
Lange Diagonale
doppelter Umkreisradius
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Regelmäßiges Achteck mit 48 cm Umfang: Seitenlänge und Fläche
- 1Seitenlänge: 48 cm : 8 = 6 cm
- 2A = 2(1+\sqrt{2}) \cdot (6\,\mathrm{cm})^2
- 3A = 72(1+\sqrt{2})\,\mathrm{cm}^2 \approx 173{,}82\,\mathrm{cm}^2
- 4Innenwinkel: 1080° : 8 = 135°
Fehler finden
Fläche eines regelmäßigen Achtecks mit a = 3\,\mathrm{cm} In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3Quadrieren heißt mit sich selbst malnehmen, nicht verdoppeln: 3 cm · 3 cm = 9 cm². Damit ist A = 2(1+\sqrt{2}) \cdot 9\,\mathrm{cm}^2 \approx 43{,}46\,\mathrm{cm}^2.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Ein regelmäßiges Achteck besteht aus acht Mittelpunktsdreiecken. Ihr Mittelpunktswinkel beträgt . Die Innenwinkelsumme des Achtecks beträgt .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback