Mathematik · Klasse 8–9 · aktualisiert
2. binomische Formel: anwenden und faktorisieren
Die 2. binomische Formel löst das Quadrat einer Differenz auf. Du lernst, sie herzuleiten, Klammern auszumultiplizieren und Terme zu faktorisieren.
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Kurz gesagt
Die 2. binomische Formel lautet (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2. Du quadrierst beide Terme, dazwischen steht das doppelte Produkt mit Minus, und der letzte Term bleibt positiv. Beispiel: (x-4)^2 = x^2 - 8x + 16.
Was ergibt (x-4)^2? Viele schreiben schnell x^2 - 16, doch das stimmt nicht. Die 2. binomische Formel (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 zeigt: Es kommt ein Mittelterm mit Minus dazu, und der letzte Term bleibt positiv. Hier lernst du, woher die Formel kommt, wie du Differenzen ausmultiplizierst und wie du passende Terme rückwärts als Klammerquadrat schreibst.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Das Quadrat einer Klammer heißt: Du multiplizierst die Klammer mit sich selbst, (a-b)^2 = (a-b)(a-b). Beim Ausmultiplizieren entsteht a^2 - ab - ab + b^2. Die beiden gleichen gemischten Terme ergeben zusammen -2ab. Das letzte Produkt (-b) \cdot (-b) ist positiv, denn minus mal minus ergibt plus. Auch am Flächenbild kannst du die Formel sehen, wenn a und b Längen mit a \ge b sind: Aus einem Quadrat mit der Fläche a^2 nimmst du zwei Streifen mit der Fläche ab heraus. Dabei ziehst du das Eckquadrat b^2 zweimal ab, deshalb addierst du es einmal wieder. Übrig bleibt das Quadrat mit der Seite a - b. Die Formel selbst gilt für alle Zahlen und Terme.
Definition
2. binomische Formel
Für alle Zahlen oder Terme a und b gilt (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2. Links steht das Quadrat einer Differenz.
Merke: Erstes Quadrat – minus doppeltes Produkt – zweites Quadrat. Der letzte Term ist positiv, weil (-b) \cdot (-b) = b^2 gilt.
Teste dich
Behandle a und b als ganze Termblöcke. Das ist besonders wichtig, wenn vor einer Variablen eine Zahl steht. Bestimme zuerst die beiden Termblöcke. Berechne dann a^2, den Mittelterm -2ab und b^2. Zum Schluss vereinfachst du und prüfst die Vorzeichen. Beim Quadrieren eines Produkts werden alle Faktoren quadriert: (2x)^2 = 2^2 \cdot x^2 = 4x^2. Das Ergebnis 2x^2 wäre falsch.
Beispiel: (3-2x)^2 ausmultiplizieren
- 1Termblöcke: a = 3 und b = 2x
- 2(3-2x)^2 = 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot 2x + (2x)^2
- 33^2 = 9, 2 \cdot 3 \cdot 2x = 12x und (2x)^2 = 4x^2
- 4(3-2x)^2 = 9 - 12x + 4x^2, geordnet 4x^2 - 12x + 9
Teste dich
Beim Faktorisieren schreibst du einen passenden Term als Klammerquadrat: a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2. Prüfe dabei drei Merkmale. Der erste und der letzte Term sind Quadrate. Der Mittelterm ist negativ. Und sein Betrag ist genau 2ab. Zwei passende Randquadrate allein reichen nicht, erst der Mittelterm entscheidet. Steht der Term in ungewohnter Reihenfolge da, ordnest du ihn zuerst: -2a + 1 + a^2 = a^2 - 2a + 1 = (a-1)^2.
Beispiel: 16x^2 - 24xy + 9y^2 faktorisieren
- 1Randterme: 16x^2 = (4x)^2 und 9y^2 = (3y)^2
- 2Mittelterm prüfen: -2 \cdot 4x \cdot 3y = -24xy passt.
- 316x^2 - 24xy + 9y^2 = (4x-3y)^2
Teste dich
Der häufigste Fehler ist die Abkürzung (a-b)^2 = a^2 - b^2. Sie lässt den Mittelterm weg. Der zweite Fehler betrifft das Vorzeichen: Das Minus der Klammer erscheint beim Mittelterm. Beim letzten Term werden zwei negative Faktoren multipliziert, deshalb steht dort +b^2 und nicht -b^2. Der dritte Fehler: Nur die Variable wird quadriert. Bei (5-3x)^2 ist der zweite Termblock 3x, also gilt (3x)^2 = 9x^2. Prüfe dein Ergebnis, indem du einen einfachen Wert einsetzt und beide Seiten vergleichst.
Beispiel: (4-z)^2 ausmultiplizieren und prüfen
- 1(4-z)^2 = 4^2 - 2 \cdot 4 \cdot z + z^2
- 2(4-z)^2 = 16 - 8z + z^2
- 3Probe mit z = 1: links (4-1)^2 = 9, rechts 16 - 8 + 1 = 9
Teste dich
Alles auf einen Blick
2. binomische Formel
Formel
(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
Herleitung
(a-b)(a-b) ausmultiplizieren
Vorzeichen
Mittelterm negativ, letzter Term positiv
Termblöcke
(2x)^2 = 4x^2, nicht 2x^2
Rückwärts
Randquadrate und Mittelterm prüfen
Probe
einen Wert einsetzen und vergleichen
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
(5-3x)^2 ausmultiplizieren und prüfen
- 1Termblöcke: a = 5 und b = 3x
- 25^2 = 25, -2 \cdot 5 \cdot 3x = -30x und (3x)^2 = 9x^2
- 3(5-3x)^2 = 25 - 30x + 9x^2
- 4Probe mit x = 1: (5-3)^2 = 4 und 25 - 30 + 9 = 4
Fehler finden
49^2 im Kopf berechnen In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 2Der letzte Term muss positiv sein, denn (-1) \cdot (-1) = 1. Richtig ist (50-1)^2 = 50^2 - 2 \cdot 50 \cdot 1 + 1^2 = 2500 - 100 + 1 = 2401.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Bei (a-b)^2 ist der Mittelterm . Der letzte Term b^2 ist . Beim Faktorisieren prüfst du die Randquadrate und den .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback