3. binomische Formel: Erklärung und Übungen

Achte auf zwei Klammern mit demselben ersten und demselben zweiten Term. In einer Klammer steht ein Plus, in der anderen ein Minus. Die Reihenfolge der Klammern darf vertauscht sein: (a-b)(a+b) = (a+b)(a-b). Passende Beispiele sind (x+5)(x-5), (2a+3)(2a-3) und (b-x)(b+x). Kein passendes Muster ist (x+5)(x-4), denn die zweiten Terme sind verschieden. Warum gibt es keinen Mittelterm? Beim Ausmultiplizieren entsteht (a+b)(a-b) = a^2 - ab + ab - b^2. Die gemischten Terme -ab und +ab heben sich auf, übrig bleibt a^2 - b^2. Für positive Längen mit a > b kannst du das auch als Fläche sehen: Nimmst du aus einem Quadrat a^2 ein kleines Quadrat b^2 heraus, lässt sich der Rest zu einem Rechteck mit den Seiten a + b und a - b umlegen.

Gehe in drei Schritten vor. Prüfe zuerst das Plus-Minus-Muster. Quadriere dann den vollständigen ersten Term. Ziehe zum Schluss das Quadrat des vollständigen zweiten Terms ab. Steht vor einer Variablen eine Zahl, wird sie mitquadriert: (3x)^2 = 3^2 \cdot x^2 = 9x^2 und nicht 3x^2. Auch ein negativer Term wird als Ganzes quadriert: (-q+2f)(-q-2f) = (-q)^2 - (2f)^2 = q^2 - 4f^2.

Rückwärts heißt die Umformung Faktorisieren: Aus einer Differenz von Quadraten wird ein Produkt, a^2 - b^2 = (a+b)(a-b). Suche dazu die beiden Quadratbasen, also die Terme, deren Quadrate dastehen. Setze sie in eine Plus- und eine Minusklammer. Zur Kontrolle löst du die Klammern wieder auf. Das Muster verlangt ausdrücklich Quadrat minus Quadrat. Eine Summe wie x^2 + 16 lässt sich mit dieser Formel nicht zerlegen.

Zwei Zahlen, die gleich weit von einer runden Mitte entfernt liegen, kannst du als m+d und m-d schreiben. Dann gilt (m+d)(m-d) = m^2 - d^2. Statt mühsam zu multiplizieren, quadrierst du nur die Mitte und den Abstand. Das klappt besonders gut, wenn die Mitte eine glatte Zahl wie 30, 50 oder 100 ist.