Stetigkeit prüfen und verstehen

Anschaulich kannst du den Graphen einer stetigen Funktion ohne Unterbrechung zeichnen. Das ist jedoch nur eine Vorstellungshilfe. Entscheidend ist der Grenzwert. Die Zeichen x\to x_0^- und x\to x_0^+ stehen für die Annäherung von links beziehungsweise von rechts. Ist die Bedingung an jeder Stelle des Definitionsbereichs erfüllt, heißt die Funktion auf diesem Definitionsbereich stetig. An einem Randpunkt wird nur aus der Richtung geprüft, die zum Definitionsbereich gehört. So ist f(x)=\sqrt{x} auf [0,\infty) auch bei x_0=0 stetig: Dort ist nur die Annäherung von rechts möglich. Untersuche eine Stelle x_0 in drei Schritten: Definitionsbereich prüfen: Ist f(x_0) überhaupt definiert? Grenzwert bestimmen: Berechne bei einer inneren Stelle den links- und den rechtsseitigen Grenzwert. Nur wenn beide gleich sind, existiert der beidseitige Grenzwert. Vergleichen: Prüfe, ob der Grenzwert gleich f(x_0) ist.

Zwei Fälle führen besonders häufig zu einer Unstetigkeit an einer definierten Stelle. Die einseitigen Grenzwerte unterscheiden sich: Betrachte s(x)=\begin{cases}-1,&x<0,\\1,&x\ge0.\end{cases} Dann gilt \lim_{x\to0^-}s(x)=-1\qquad\text{und}\qquad\lim_{x\to0^+}s(x)=1. Die beiden Werte sind verschieden. Deshalb existiert kein beidseitiger Grenzwert. Bei 0 liegt eine Sprungstelle vor. Grenzwert und Funktionswert unterscheiden sich: Betrachte p(x)=\begin{cases}x^2,&x\ne0,\\1,&x=0.\end{cases} Für x nahe bei 0 gilt p(x)=x^2. Daher ist \lim_{x\to0}p(x)=0. Der eingesetzte Funktionswert lautet aber p(0)=1. Die Funktion ist bei 0 unstetig, obwohl der Grenzwert existiert.

Ist x_0 nicht im Definitionsbereich, kann die ursprüngliche Funktion dort nicht auf Stetigkeit geprüft werden. Sie kann auf ihrem übrigen Definitionsbereich trotzdem stetig sein. Nähern sich die Funktionswerte von beiden Seiten derselben endlichen Zahl L, lässt sich die Lücke durch den neuen Wert f(x_0)=L stetig fortsetzen. Eine solche Lücke heißt hebbar. Eine Sprungstelle ist nicht auf diese Weise behebbar: Wenn linker und rechter Grenzwert verschieden sind, gibt es keinen einzelnen Wert, der zu beiden Seiten passt. Auch eine Polstelle mit unbegrenzt wachsenden Funktionswerten lässt sich nicht durch einen endlichen Funktionswert schließen.

Sind f und g an einer Stelle stetig, dann sind dort auch Summe, Differenz und Produkt stetig. Der Quotient f/g ist stetig, sofern der Nenner an der betrachteten Stelle nicht null ist. Auch eine zulässige Verkettung stetiger Funktionen ist stetig. Daraus folgt zum Beispiel: Polynome sind auf ganz \mathbb R stetig. Rationale Funktionen sind an allen Stellen ihres Definitionsbereichs stetig, an denen ihr Nenner nicht null ist. Die formale Epsilon-Delta-Definition beschreibt Stetigkeit über Abstände. Zu jeder gewünschten Genauigkeit \varepsilon>0 bei den Funktionswerten muss eine Nähe \delta>0 bei den Eingabewerten gefunden werden: |x-x_0|<\delta\quad\Rightarrow\quad|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon. Die Wahl von \delta darf von \varepsilon und vom betrachteten Punkt abhängen, aber nicht von einem einzelnen x innerhalb der Umgebung.