Mathematik · Klasse 11 · aktualisiert
Polstelle und Definitionslücke unterscheiden
Nicht jede Nennernullstelle ist eine Polstelle. Du lernst, Definitionslücken zu finden, hebbare Lücken von Polstellen zu trennen und die Polordnung zu deuten.
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Kurz gesagt
Eine Definitionslücke ist eine Nullstelle des ursprünglichen Nenners. Kürzt du Zähler und Nenner vollständig und bleibt der Faktor x - x_0 im Nenner, ist x_0 eine Polstelle mit senkrechter Asymptote. Verschwindet der Faktor ganz, ist die Lücke hebbar.
Durch null darfst du nicht teilen. Deshalb hat eine gebrochenrationale Funktion an den Nullstellen ihres Nenners Definitionslücken. Doch dort passiert nicht immer dasselbe: Mal schießt der Graph nach oben oder unten weg, mal hat er nur ein winziges Loch. Erst Faktorisieren und Kürzen zeigen dir, ob eine Polstelle oder eine hebbare Lücke vorliegt.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Eine gebrochenrationale Funktion hat die Form f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} mit Polynomen P und Q. Durch null darfst du nicht teilen. Deshalb gehören alle Nullstellen des ursprünglichen Nenners Q(x) nicht zum Definitionsbereich. Sie sind zunächst Definitionslücken. Nullstellen des Zählers spielen dafür keine Rolle.
Definition
Definitionslücke
Eine Definitionslücke ist eine Zahl x_0, für die der gegebene Funktionsterm nicht definiert ist. Bei einem Bruchterm gilt dort Q(x_0) = 0.
Beispiel: f(x) = \frac{x-3}{x-2} untersuchen
- 1Nenner: x - 2 = 0 bei x = 2
- 2Zähler an dieser Stelle: 2 − 3 = −1, also nicht null
- 3x = 2 ist eine Definitionslücke und direkt eine Polstelle.
Teste dich
Werden Zähler und Nenner an derselben Stelle null, reicht Einsetzen nicht aus. Faktorisiere beide Polynome und kürze gemeinsame Faktoren. Das Kürzen ändert den Definitionsbereich des ursprünglichen Terms aber nicht. Eine gemeinsame Nullstelle von Zähler und Nenner ist nicht automatisch hebbar. Entscheidend ist, ob nach dem vollständigen Kürzen noch ein Faktor im Nenner übrig bleibt.
Definition
Polstelle
Bei einer Polstelle bleibt nach vollständigem Kürzen ein Nennerfaktor für x_0 übrig. Nähert sich x dieser Stelle, wachsen die Funktionswerte betragsmäßig über alle Grenzen. Die Gerade x = x_0 ist die senkrechte Asymptote.
Definition
Hebbare Definitionslücke
Eine Definitionslücke bei x_0 ist hebbar, wenn ihr Nennerfaktor vollständig gekürzt werden kann. Der gekürzte Term hat dort einen endlichen Wert, den Lochwert. Mit ihm lässt sich das Loch im Graphen stetig schließen.
Beispiel: h(x) = \frac{x-1}{(x-1)^2} bei x = 1
- 1Zähler und Nenner sind bei x = 1 null.
- 2Einmal kürzen für x \ne 1: h(x) = \frac{1}{x-1}
- 3Der Faktor x - 1 bleibt im Nenner.
- 4Also ist x = 1 eine Polstelle, keine hebbare Lücke.
Teste dich
Bestimme zuerst alle Nullstellen des ursprünglichen Nenners: Das sind die Definitionslücken. Faktorisiere dann Zähler und Nenner vollständig und kürze gemeinsame Faktoren. Behalte dabei die ursprünglichen Lücken im Blick. Prüfe jede Lücke im gekürzten Term: Bleibt der Faktor im Nenner, ist es eine Polstelle. Ist er ganz verschwunden, ist die Lücke hebbar. Den Lochwert berechnest du durch Einsetzen in den gekürzten Term.
Beispiel: f(x) = \frac{x^2-1}{(x-1)(x-2)} untersuchen
- 1Definitionslücken: x = 1 und x = 2
- 2Faktorisieren: x^2 - 1 = (x-1)(x+1)
- 3Kürzen für x \ne 1 und x \ne 2: f(x) = \frac{x+1}{x-2}
- 4x = 1: Faktor verschwunden, hebbar. Lochwert: \frac{1+1}{1-2} = -2
- 5x = 2: Nenner bleibt null, Polstelle mit Asymptote x = 2
Merke: Lücken am ursprünglichen Nenner bestimmen, am gekürzten Term einordnen.
Teste dich
Kommt der Faktor x - x_0 im Nenner m-mal und im Zähler k-mal vor, vergleichst du die Vielfachheiten. Ist k kleiner als m, bleibt eine Polstelle der Ordnung m - k. Für k \ge m verschwindet der Nennerfaktor vollständig, und die Lücke ist hebbar. Bei ungerader Polordnung wechseln die Funktionswerte an der Polstelle das Vorzeichen. Bei gerader Polordnung gibt es keinen Vorzeichenwechsel. Übrigens: Die Polstelle ist die Zahl x_0, die senkrechte Asymptote ist die Gerade x = x_0.
| Funktion | Polstelle | Ordnung | Vorzeichenwechsel? |
|---|---|---|---|
| \frac{1}{x} | x = 0 | 1, ungerade | ja: links negativ, rechts positiv |
| \frac{4}{x^2} | x = 0 | 2, gerade | nein: auf beiden Seiten positiv, gegen +\infty |
Merke: Ungerade Ordnung: Vorzeichenwechsel. Gerade Ordnung: kein Vorzeichenwechsel. Die Ordnung liest du am vollständig gekürzten Nenner ab.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Polstelle und Definitionslücke
Definitionslücken
Nullstellen des ursprünglichen Nenners
Polstelle
Der Faktor bleibt nach dem Kürzen im Nenner
Hebbare Lücke
Der Faktor verschwindet, der gekürzte Term liefert den Lochwert
Ungerade Polordnung
mit Vorzeichenwechsel
Gerade Polordnung
ohne Vorzeichenwechsel
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
f(x) = \frac{x^2 + x - 6}{x^2 - 4} untersuchen
- 1Nenner: x^2 - 4 = 0 bei x = 2 und bei x = -2
- 2Faktorisieren: f(x) = \frac{(x+3)(x-2)}{(x-2)(x+2)}
- 3Kürzen für x \ne 2 und x \ne -2: f(x) = \frac{x+3}{x+2}
- 4x = 2: Faktor verschwunden, hebbar. Lochwert: \frac{2+3}{2+2} = \frac{5}{4}
- 5x = -2: x + 2 bleibt im Nenner, Polstelle erster Ordnung mit Vorzeichenwechsel
Fehler finden
Definitionslücken von f(x) = \frac{x^2-9}{x^2-3x} In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3Die Lücken wurden am gekürzten Term abgelesen. Der ursprüngliche Nenner x(x-3) wird bei x = 0 und bei x = 3 null. Bei x = 3 ist die Lücke hebbar mit Lochwert \frac{3+3}{3} = 2.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Nullstellen des sind Definitionslücken. Bleibt der Faktor nach dem Kürzen im , liegt eine Polstelle vor. Bei einer hebbaren Lücke liefert der gekürzte Term den .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback