Mathematik · Klasse 11 · aktualisiert
Polynomdivision: Anleitung, Beispiele und Übungen
Polynomdivision teilt ein Polynom durch ein anderes. Du lernst den Viererschritt, die Probe mit Rest und das Faktorisieren mit einer Nullstelle.
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Kurz gesagt
Die Polynomdivision teilt ein Polynom durch ein anderes, so wie die schriftliche Division eine Zahl. Du wiederholst vier Schritte: Leitterme teilen, zurückmultiplizieren, subtrahieren, den nächsten Term herunterholen. Beispiel: (x^3 + 6x^2 - 32) : (x - 2) = x^2 + 8x + 16.
Die schriftliche Division kennst du von Zahlen. Mit Termen geht es fast genauso: Die Polynomdivision teilt ein Polynom schrittweise durch ein anderes. Du wiederholst immer denselben Zyklus: Leitterme teilen, zurückmultiplizieren, subtrahieren, nächsten Term herunterholen. Am Ende hast du einen Quotienten und manchmal einen Rest.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Ein Polynom ist eine Summe aus Vielfachen von Potenzen einer Variablen, zum Beispiel x^3 + 6x^2 - 32. Der Term, den du teilst, heißt Dividend. Der Term, durch den du teilst, heißt Divisor, das Ergebnis Quotient. Ordne Dividend und Divisor zuerst nach fallenden Potenzen. Fehlt eine Potenzstufe, setzt du ein Nullglied als Platzhalter ein. Ohne 0x geraten beim Rechnen leicht Terme verschiedener Stufen untereinander.
Definition
Polynomdivision
Die Polynomdivision teilt ein Polynom P(x) durch ein Polynom D(x). Das Ergebnis ist ein Quotient Q(x) und ein Rest R(x), dessen Grad kleiner ist als der Grad von D(x).
Beispiel: x^3 + 6x^2 - 32 vorbereiten
- 1Die Potenzen sind schon fallend geordnet: x^3, x^2, Zahl.
- 2Es fehlt die Stufe x.
- 3Mit Nullglied: x^3 + 6x^2 + 0x - 32
Teste dich
Bei jedem Durchgang arbeitest du mit dem höchsten Term, der noch übrig ist. Teilen: Teile den Leitterm des aktuellen Restes durch den Leitterm des Divisors. Multiplizieren: Multipliziere den neuen Quotiententerm mit dem ganzen Divisor. Subtrahieren: Ziehe dieses Produkt ab. Herunterholen: Nimm den nächsten Term des Dividenden dazu. Dann beginnt der nächste Durchgang, bis kein Term mehr übrig ist.
Merke: Der feste Rhythmus lautet: teilen → multiplizieren → subtrahieren → herunterholen. Beim Subtrahieren wechseln alle Vorzeichen des abzuziehenden Produkts.
Beispiel: (x^3 + 6x^2 + 0x - 32) : (x - 2) berechnen
- 11. Durchgang: x^3 : x = x^2
- 2Zurückmultiplizieren: x^2(x - 2) = x^3 - 2x^2
- 3Subtrahieren: 6x^2 - (-2x^2) = 8x^2, dann 0x herunterholen
- 42. Durchgang: 8x^2 : x = 8x und 8x(x - 2) = 8x^2 - 16x
- 5Subtrahieren: 0x - (-16x) = 16x, dann -32 herunterholen
- 63. Durchgang: 16x : x = 16 und 16(x - 2) = 16x - 32, Rest 0
- 7Also gilt (x^3 + 6x^2 - 32) : (x - 2) = x^2 + 8x + 16.
Teste dich
Eine Polynomdivision endet, sobald der Grad des Restes kleiner ist als der Grad des Divisors. Dann gilt die Divisionsprobe P(x) = D(x) \cdot Q(x) + R(x). Dabei ist P der Dividend, D der Divisor, Q der Quotient und R der Rest. Ist R = 0, geht die Division auf. Ist R \ne 0, schreibst du das Ergebnis mit einem Restbruch: \frac{P(x)}{D(x)} = Q(x) + \frac{R(x)}{D(x)}
Beispiel: (x^3 + 2x^2 - x + 1) : (x + 1) mit Rest
- 1x^3 : x = x^2, nach Abzug von x^2(x + 1) = x^3 + x^2 bleibt x^2 - x
- 2x^2 : x = x, nach Abzug von x(x + 1) = x^2 + x bleibt -2x + 1
- 3-2x : x = -2, nach Abzug von -2(x + 1) = -2x - 2 bleibt der Rest 3
- 4Probe: (x + 1)(x^2 + x - 2) + 3 = x^3 + 2x^2 - x + 1
- 5Mit Restbruch: x^2 + x - 2 + \frac{3}{x + 1}
Merke: Bei einem linearen Divisor wie x + 1 ist der Rest immer eine Zahl. Die Probe D \cdot Q + R muss genau den Dividenden ergeben.
Teste dich
Eine Zahl x_0 heißt Nullstelle von P, wenn P(x_0) = 0 gilt. Dann ist x - x_0 ein Linearfaktor von P, und die Division durch ihn geht mit Rest 0 auf. Allgemein ist der Rest bei der Division durch x - x_0 genau der Wert P(x_0). Bleibt also ein Rest, ist x_0 keine Nullstelle. Achte auf das Vorzeichen: Aus x_0 = 2 wird x - 2, aus x_0 = -3 wird x + 3. So führst du ein Polynom dritten Grades auf einen quadratischen Term zurück.
Beispiel: P(x) = x^3 - 3x^2 - 10x + 24 faktorisieren
- 1Vermutete Nullstelle prüfen: P(2) = 8 - 12 - 20 + 24 = 0
- 2Also ist x - 2 ein Linearfaktor.
- 3Division: (x^3 - 3x^2 - 10x + 24) : (x - 2) = x^2 - x - 12
- 4Quotient zerlegen: x^2 - x - 12 = (x - 4)(x + 3)
- 5Ergebnis: P(x) = (x - 2)(x - 4)(x + 3)
- 6Die Nullstellen sind 2, 4 und -3.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Polynomdivision
Vorbereiten
nach fallenden Potenzen ordnen, fehlende Stufen als Nullglied ergänzen
Viererschritt
teilen, zurückmultiplizieren, subtrahieren, herunterholen
Vorzeichen
beim Subtrahieren jedes Vorzeichen des Produkts umdrehen
Ende
Der Grad des Restes ist kleiner als der Grad des Divisors
Probe
P = D \cdot Q + R
Nullstelle
x_0 liefert den Faktor x - x_0 mit Rest 0
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
(x^3 - x^2 - 4x + 4) : (x - 1) berechnen
- 1Nullstelle prüfen: 1 - 1 - 4 + 4 = 0, die Division geht also auf
- 2x^3 : x = x^2, zurückmultiplizieren: x^2(x - 1) = x^3 - x^2
- 3Subtrahieren lässt 0x^2 übrig, herunterholen ergibt -4x + 4
- 4-4x : x = -4, zurückmultiplizieren: -4(x - 1) = -4x + 4, Rest 0
- 5Quotient: x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)
- 6Die Nullstellen sind 1, 2 und -2.
Fehler finden
(x^2 + x - 12) : (x - 3) berechnen In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3Beim Subtrahieren wurde das Vorzeichen von -3x nicht umgedreht. Richtig ist (x^2 + x) - (x^2 - 3x) = 4x. Dann folgt 4x - 12, 4x : x = 4 und das Ergebnis x + 4 ohne Rest.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Weil 1 eine Nullstelle von x^3 - x^2 - 4x + 4 ist, dividierst du durch . Der Quotient ist , der Rest ist .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback