Mathematik · Klasse 9–10 · aktualisiert
Steigungswinkel berechnen: Formel und Beispiele
Du lernst, aus einer Steigung den Steigungswinkel zu berechnen: für Geraden, Tangenten und Prozentangaben, auch bei negativer Steigung.
0 von 10 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Der Steigungswinkel \alpha ist der Winkel zwischen einer Geraden und der x-Achse. Er hängt über m=\tan(\alpha) mit der Steigung zusammen, also berechnest du ihn mit \alpha=\arctan(m). Für f(x)=5x+3 ist \alpha=\arctan(5)\approx78{,}7^\circ.
Der Steigungswinkel \alpha beschreibt die Neigung einer Geraden oder einer Tangente gegenüber der x-Achse. Steigung und Winkel hängen durch m=\tan(\alpha) zusammen. Ist die Steigung bekannt, berechnest du den Winkel mit dem Arkustangens: \alpha=\arctan(m). Auf dieser Seite lernst du den vollständigen Rechenweg für Geraden, Funktionsgraphen und Prozentsteigungen. Außerdem erfährst du, wie du negative Steigungen je nach geforderter Winkelkonvention behandelst.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Stell dir an einer Geraden ein rechtwinkliges Steigungsdreieck vor. Seine waagerechte Seite hat die Länge \Delta x, seine senkrechte Seite die Länge \Delta y. Die Steigung ist das Verhältnis der beiden Änderungen: m=\frac{\Delta y}{\Delta x} Im rechtwinkligen Dreieck ist der Tangens das Verhältnis von Gegenkathete zu Ankathete. Deshalb gilt: \tan(\alpha)=\frac{\Delta y}{\Delta x}=m Achte beim Rechnen darauf, dass dein Taschenrechner auf Gradmaß eingestellt ist. Der Arkustangens kann dort auch als \tan^{-1} bezeichnet sein.
Definition
Steigungswinkel
Der Steigungswinkel \alpha ist der Winkel zwischen einer Geraden und der x-Achse. Bei einem gekrümmten Funktionsgraphen betrachtet man an der gewünschten Stelle die Tangente.
Merke: Von Winkel zu Steigung: m=\tan(\alpha). Von Steigung zu Winkel: \alpha=\arctan(m).
Teste dich
Bei einer Geraden f(x)=mx+b ist der Faktor vor x die Steigung m. Der Achsenabschnitt b verschiebt die Gerade nur und ändert den Winkel nicht. Lies m ab und berechne \alpha=\arctan(m). Kennst du zwei Punkte, bestimmst du zuerst m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}. Eine Prozentsteigung vergleicht den Höhenunterschied mit der waagerechten Entfernung. Aus 39 % wird die Dezimalsteigung 0,39, und dann hilft wieder der Arkustangens.
Beispiel: Steigungswinkel von f(x)=5x+3
- 1Steigung ablesen: m=5
- 2\alpha=\arctan(5)\approx78{,}7^\circ
- 3m>0: Ein Winkel zwischen 0° und 90° passt zur steigenden Geraden.
Beispiel: Eine Straße hat 39 % Steigung
- 1m=\frac{39}{100}=0{,}39
- 2\alpha=\arctan(0{,}39)\approx21{,}3^\circ
- 3Die Straße steigt unter einem Winkel von etwa 21,3° an.
Merke: Eine Prozentsteigung ist nicht dieselbe Zahl wie der Winkel in Grad. Wandle den Prozentwert zuerst in eine Dezimalzahl um und verwende dann den Arkustangens.
Teste dich
Ein gekrümmter Graph kann an verschiedenen Stellen verschieden steil sein. An der Stelle x_0 beschreibt die Ableitung f'(x_0) die Steigung der dortigen Tangente. Der Rechenweg lautet: f\longrightarrow f'\longrightarrow f'(x_0)=m\longrightarrow\arctan(m)=\alpha Dieses Verfahren setzt voraus, dass die benötigte Ableitung an der betrachteten Stelle vorhanden ist. Du brauchst nur die Tangentensteigung f'(x_0); die vollständige Tangentengleichung musst du nicht aufstellen.
Beispiel: Steigungswinkel von f(x)=x^3+1 an der Stelle x_0=1
- 1f'(x)=3x^2
- 2m=f'(1)=3\cdot1^2=3
- 3\alpha=\arctan(3)\approx71{,}6^\circ
- 4Die Tangente bei x_0=1 steigt unter etwa 71,6° an.
Teste dich
Bei m<0 fällt die Gerade von links nach rechts, und der Arkustangens liefert einen negativen Winkel. Zwei Darstellungen sind üblich, achte deshalb auf die Aufgabe. Beim gerichteten Winkel bleibt das negative Ergebnis stehen, es zeigt die fallende Richtung. Wird ein normierter Steigungswinkel mit 0^\circ\leq\alpha<180^\circ verlangt, addierst du zum negativen Ergebnis 180^\circ.
Beispiel: Steigungswinkel von f(x)=-4x+1
- 1m=-4
- 2Gerichteter Winkel: \alpha'=\arctan(-4)\approx-76{,}0^\circ
- 3Für 0^\circ\le\alpha<180^\circ: \alpha\approx-76{,}0^\circ+180^\circ=104{,}0^\circ
- 4Beide Werte beschreiben dieselbe fallende Gerade.
Merke: Bei m<0 darfst du nicht automatisch bei einem negativen Taschenrechnerwert stehen bleiben. Prüfe zuerst, ob ein gerichteter Winkel oder ein Winkel zwischen 0^\circ und 180^\circ verlangt ist.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Steigungswinkel
Grundbeziehung
m=\tan(\alpha), also \alpha=\arctan(m)
Gerade
die Steigung vor x ablesen, der Achsenabschnitt zählt nicht
Funktionsgraph
an der Stelle x_0 gilt m=f'(x_0)
Prozent
erst durch 100 teilen, dann den Arkustangens nehmen
Negative Steigung
für 0° bis 180° zum Ergebnis 180° addieren
Taschenrechner
auf Gradmaß stellen
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Steigungswinkel der Geraden durch P_1(1|2) und P_2(4|7)
- 1m=\frac{7-2}{4-1}=\frac{5}{3}
- 2\alpha=\arctan\left(\frac{5}{3}\right)\approx59{,}0^\circ
- 3m>0: Die Gerade steigt, ein Winkel zwischen 0° und 90° passt.
Fehler finden
Steigungswinkel einer Rampe mit 12 % Steigung In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 2Gesucht ist ein Winkel, also brauchst du die Umkehrfunktion: \alpha=\arctan(0{,}12)\approx6{,}8^\circ.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Bei f(x)=5x+3 ist die Steigung . Den Winkel berechnest du mit . Er beträgt ungefähr .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback