Mathematik · Klasse 9–10 · aktualisiert
Sinus, Kosinus und Tangens: Dreiecke berechnen
Sinus, Kosinus und Tangens verbinden im rechtwinkligen Dreieck Winkel und Seiten. Du lernst, die passende Funktion zu wählen und Seiten und Winkel zu berechnen.
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Kurz gesagt
Im rechtwinkligen Dreieck gilt für einen spitzen Winkel: Sinus = Gegenkathete durch Hypotenuse, Kosinus = Ankathete durch Hypotenuse, Tangens = Gegenkathete durch Ankathete. Du wählst die Funktion, in der die bekannte und die gesuchte Seite vorkommen. Winkel berechnest du mit arcsin, arccos oder arctan.
Wie berechnest du fehlende Seiten und Winkel? Sinus, Kosinus und Tangens verbinden in einem rechtwinkligen Dreieck einen spitzen Winkel mit Seitenlängen. Du ordnest zuerst die Seiten aus Sicht des betrachteten Winkels zu und wählst dann die Funktion, in der genau die bekannten und gesuchten Seiten vorkommen.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Der rechte Winkel ist dein erster Orientierungspunkt. Ihm gegenüber liegt die Hypotenuse. Sie ist die längste Seite. Die beiden anderen Seiten heißen Katheten. Erst danach blickst du auf den spitzen Winkel, um den es geht: Die Gegenkathete liegt diesem Winkel gegenüber. Die Ankathete berührt diesen Winkel, ist aber nicht die Hypotenuse.
Merke: Die Hypotenuse bleibt beim Wechsel des betrachteten Winkels gleich. Gegenkathete und Ankathete tauschen dagegen ihre Rollen.
Beispiel: Dreieck mit rechtem Winkel bei C
- 1Hypotenuse: c
- 2Aus Sicht von \alpha: Gegenkathete a, Ankathete b
- 3Aus Sicht von \beta: Gegenkathete b, Ankathete a
Teste dich
Die drei Winkelfunktionen verwenden unterschiedliche Seitenpaare. Die Abkürzungen GK, AK und H stehen für Gegenkathete, Ankathete und Hypotenuse. Der Tangens ist leicht zu erkennen: Er ist das einzige der drei Verhältnisse ohne Hypotenuse. Warum hängen die Werte nur vom Winkel ab? Rechtwinklige Dreiecke mit demselben spitzen Winkel sind ähnlich: Sie haben dieselbe Form, können aber verschieden groß sein. Vergrößerst du ein Dreieck, werden alle Seiten mit demselben Faktor multipliziert. Im Quotienten kürzt sich dieser Faktor wieder. Aus GK=3, H=5 wird zum Beispiel GK=6, H=10, und es bleibt \frac{3}{5}=\frac{6}{10}=0{,}6.
Definition
Sinus, Kosinus und Tangens
Für einen spitzen Winkel \alpha im rechtwinkligen Dreieck gilt: \sin(\alpha)=\frac{GK}{H},\qquad \cos(\alpha)=\frac{AK}{H},\qquad \tan(\alpha)=\frac{GK}{AK}
| Beteiligte Seiten | Passende Funktion |
|---|---|
| Gegenkathete und Hypotenuse | Sinus |
| Ankathete und Hypotenuse | Kosinus |
| Gegenkathete und Ankathete | Tangens |
Merke: Benenne erst die Seiten relativ zum betrachteten Winkel. Wähle danach die Funktion. Die Buchstaben der Seiten allein helfen nicht zuverlässig.
Teste dich
Kennst du einen spitzen Winkel und eine Seite, gehst du so vor: Seiten benennen, bekannte und gesuchte Seite markieren, passendes Verhältnis wählen, einsetzen und nach der gesuchten Seite umstellen, zum Schluss Einheit und Plausibilität prüfen. Sind zwei Seiten bekannt, setzt du ihr Verhältnis in die passende Funktion ein. Danach verwendest du die Umkehrfunktion \arcsin, \arccos oder \arctan. Sie liefert den Winkel zu einem bekannten Funktionswert. Auf vielen Taschenrechnern erreichst du sie über shift oder 2nd; \sin^{-1} meint dort den Arkussinus, nicht den Kehrwert. Stelle den Rechner für Grad auf DEG und runde erst das Endergebnis.
Beispiel: Katheten bei c=4\,\mathrm{cm} und \alpha=30^\circ
- 1Gegenkathete a und Hypotenuse: Sinus
- 2a=4\,\mathrm{cm}\cdot\sin(30^\circ)=4\,\mathrm{cm}\cdot0{,}5=2\,\mathrm{cm}
- 3Ankathete b und Hypotenuse: Kosinus
- 4b=4\,\mathrm{cm}\cdot\cos(30^\circ)=2\sqrt3\,\mathrm{cm}\approx3{,}46\,\mathrm{cm}
- 5Probe: Beide Katheten sind kürzer als die Hypotenuse.
Beispiel: Winkel bei Ankathete 7\,\mathrm{cm} und Hypotenuse 10\,\mathrm{cm}
- 1Ankathete und Hypotenuse: Kosinus
- 2\cos(\alpha)=\frac{7}{10}=0{,}7
- 3\alpha=\arccos(0{,}7)\approx45{,}57^\circ
- 4Probe: ein spitzer Winkel, der Rechner stand auf DEG.
Teste dich
Aus den drei Grundverhältnissen folgen zwei wichtige Beziehungen. Für den Tangens gilt: \tan(\alpha)=\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} Denn \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}=\frac{GK/H}{AK/H}=\frac{GK}{AK} Für die Seiten gilt nach dem Satz des Pythagoras GK^2+AK^2=H^2. Teile durch H^2: \left(\frac{GK}{H}\right)^2+\left(\frac{AK}{H}\right)^2=1 Setzt du die Grundverhältnisse ein, erhältst du den trigonometrischen Pythagoras: \sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)=1 Dabei bedeutet \sin^2(\alpha) dasselbe wie (\sin(\alpha))^2. Die Seitenverhältnisse gelten hier für spitze Winkel: 0^\circ<\alpha<90^\circ. Bei 90^\circ entsteht kein solches Dreieck mit drei positiven Seitenlängen. Sinus und Kosinus lassen sich darüber hinaus am Einheitskreis, einem Kreis mit Radius 1, definieren. Dort gilt \sin(90^\circ)=1 und \cos(90^\circ)=0. Deshalb ist \tan(90^\circ) nicht definiert: Der Quotient \sin/\cos würde durch null teilen.
Beispiel: Sinus aus \cos(\alpha)=0{,}5 für einen spitzen Winkel
- 1\sin^2(\alpha)=1-0{,}5^2=0{,}75
- 2Da der Sinus eines spitzen Winkels positiv ist:
- 3\sin(\alpha)=\sqrt{0{,}75}=\frac{\sqrt3}{2}
Merke: Der Tangens ist Sinus durch Kosinus. Und für jeden Winkel gilt \sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)=1.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Sinus Cosinus Tangens
Seiten zuordnen
Hypotenuse gegenüber dem rechten Winkel erkennen; Gegen- und Ankathete zum spitzen Winkel bestimmen
Funktion wählen
Sinus verbindet Gegenkathete und Hypotenuse; Kosinus verbindet Ankathete und Hypotenuse; Tangens verbindet beide Katheten
Unbekanntes berechnen
Seitenformel umstellen; Winkel mit Umkehrfunktion bestimmen
Ergebnis prüfen
Einheit oder Gradzeichen notieren; Plausibilität am Dreieck prüfen
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Eine Leiter an der Wand
- 1Die Leiter ist die Hypotenuse: 5\,\mathrm{m}, Winkel zum Boden 30^\circ.
- 2Höhe = Gegenkathete, also Sinus: h=5\,\mathrm{m}\cdot\sin(30^\circ)=5\,\mathrm{m}\cdot0{,}5=2{,}5\,\mathrm{m}
- 3Abstand zur Wand = Ankathete, also Kosinus: d=5\,\mathrm{m}\cdot\cos(30^\circ)=5\,\mathrm{m}\cdot\frac{\sqrt3}{2}\approx4{,}33\,\mathrm{m}
- 4Probe: Beide Katheten sind kürzer als die 5\,\mathrm{m} lange Leiter.
Fehler finden
Winkel bei Gegenkathete 3\,\mathrm{cm} und Ankathete 4\,\mathrm{cm} In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 2Gegenkathete und Ankathete gehören zum Tangens, nicht zum Sinus: \tan(\alpha)=\frac{3}{4}=0{,}75, also \alpha=\arctan(0{,}75)\approx36{,}87^\circ.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Gegenkathete und Hypotenuse gehören zum . Ankathete und Hypotenuse gehören zum . Gegenkathete und Ankathete gehören zum .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback