Sinus im rechtwinkligen Dreieck einfach erklärt

Stell dir mehrere rechtwinklige Dreiecke mit demselben spitzen Winkel \alpha vor. Diese Dreiecke sind ähnlich: Ihre entsprechenden Seiten werden jeweils mit demselben Faktor vergrößert oder verkleinert. Deshalb bleibt der Quotient aus Gegenkathete und Hypotenuse gleich. Beispiel: Eine Gegenkathete ist 3\,\mathrm{cm} lang, die Hypotenuse 5\,\mathrm{cm}. Dann gilt: \sin(\alpha)=\frac{3\,\mathrm{cm}}{5\,\mathrm{cm}}=0{,}6 Die Einheiten kürzen sich. Der Sinuswert 0{,}6 besitzt daher keine Einheit.

Die Hypotenuse liegt immer gegenüber dem rechten Winkel. Sie ist die längste Seite des rechtwinkligen Dreiecks. Die Gegenkathete hängt dagegen vom betrachteten spitzen Winkel ab: Sie liegt diesem Winkel gegenüber. Die andere Kathete ist seine Ankathete. Wechselst du vom Winkel \alpha zum anderen spitzen Winkel \beta, tauschen Gegenkathete und Ankathete ihre Rollen. Die Hypotenuse bleibt dieselbe. So gehst du vor: Markiere den rechten Winkel. Bestimme die gegenüberliegende Hypotenuse. Markiere den Winkel, auf den sich die Aufgabe bezieht. Bestimme die gegenüberliegende Gegenkathete.

Sind Winkel und Hypotenuse bekannt, stellst du die Grundformel nach der Gegenkathete um: \text{Gegenkathete}=\sin(\alpha)\cdot\text{Hypotenuse} Ist die Gegenkathete bekannt und die Hypotenuse gesucht, dividierst du durch den Sinuswert: \text{Hypotenuse}=\frac{\text{Gegenkathete}}{\sin(\alpha)}

Sind Gegenkathete und Hypotenuse bekannt, berechnest du zuerst ihr Verhältnis. Danach verwendest du die Umkehrfunktion des Sinus, den Arkussinus: \alpha=\arcsin\left(\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}\right) Die Taste kann auf deinem Taschenrechner mit \sin^{-1} beschriftet sein. Sie bedeutet hier Arkussinus und nicht den Kehrwert 1/\sin. Sind Seiten in verschiedenen Einheiten angegeben, wandelst du sie vor der Division um. Zum Beispiel sind 2\,\mathrm{mm}=0{,}2\,\mathrm{cm}. Der Sinus lässt sich über das rechtwinklige Dreieck hinaus erweitern: Am Einheitskreis ist er die y-Koordinate eines Kreispunktes und liegt zwischen -1 und 1. Für die Rechnungen hier genügt die Dreiecksdefinition für spitze Winkel.