Mathematik · Klasse 9–10 · aktualisiert
Vierfeldertafel: Erklärung, Aufgaben und Lösungen
Eine Vierfeldertafel ordnet zwei Merkmale in vier Felder. Du lernst, sie auszufüllen, Anteile abzulesen und die richtige Bezugsgruppe zu wählen.
0 von 11 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Eine Vierfeldertafel ist eine Tabelle für zwei Merkmale und ihre Gegenereignisse. Die vier inneren Felder zeigen die Kombinationen, die Ränder die Summen, unten rechts steht die Gesamtzahl. Fehlende Werte ergänzt du mit Randsumme minus bekanntem Feld, bedingte Anteile mit Feld durch Bezugsgruppe.
Eine Vierfeldertafel ordnet zwei Merkmale so, dass du ihre vier möglichen Kombinationen, die Randsummen und bedingte Anteile sicher ablesen kannst. Du lernst, eine Tafel aufzubauen, fehlende Werte zu ergänzen und die richtige Bezugsgruppe zu wählen.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Eine Vierfeldertafel beschreibt zwei Ereignisse oder Merkmale. Zu jedem Ereignis gehört ein Gegenereignis: Es tritt genau dann ein, wenn das ursprüngliche Ereignis nicht eintritt. Die Tabelle zeigt den allgemeinen Aufbau. Die vier inneren Felder enthalten die vier möglichen Kombinationen. Die Felder am rechten und unteren Rand enthalten Summen. Achte auf „und“: Ein inneres Feld beschreibt zwei Merkmale, die gleichzeitig zutreffen. Eine Aussage mit „oder“ kann mehrere Felder umfassen.
Definition
Schnittmenge
Die Schnittmenge A\cap B umfasst alle Fälle, bei denen sowohl A als auch B zutreffen. Das Wort und ist dabei entscheidend.
| A | Gegenereignis zu A | Summe | |
|---|---|---|---|
| B | A\cap B | nicht A und B | B |
| Gegenereignis zu B | A und nicht B | weder A noch B | nicht B |
| Summe | A | nicht A | Gesamt |
Beispiel: In einer Klasse steht J für „Junge“ und B für „Test bestanden“.
- 1J\cap B: Junge und Test bestanden
- 2nicht J und B: Mädchen und Test bestanden
- 3J und nicht B: Junge und Test nicht bestanden
- 4weder J noch B: Mädchen und Test nicht bestanden
Teste dich
Gehe immer in derselben Reihenfolge vor: Benenne beide Merkmale und ihre Gegenereignisse. Entscheide, welche Angabe in welches Feld oder an welchen Rand gehört. Trage alle gegebenen Werte ein. Ergänze fehlende Werte mit Randsumme minus bekanntem Feld. Prüfe die Gesamtsumme einmal über die Zeilen und einmal über die Spalten. Stimmen beide Gesamtsummen nicht überein, ist mindestens ein Eintrag falsch.
Beispiel: Zwei Klassen: Wer mag Mathematik?
- 1Gegeben: 10b und mag Mathematik: 9; 10b gesamt: 36
- 2Gegeben: 10a und mag Mathematik nicht: 12; mag Mathematik gesamt: 27
- 310a und mag Mathematik: 27 - 9 = 18
- 410a gesamt: 18 + 12 = 30
- 510b und mag Mathematik nicht: 36 - 9 = 27
- 6Kontrolle: 30 + 36 = 66 und 27 + 39 = 66
| 10a | 10b | Gesamt | |
|---|---|---|---|
| mag Mathematik | 18 | 9 | 27 |
| mag Mathematik nicht | 12 | 27 | 39 |
| Gesamt | 30 | 36 | 66 |
Merke: Ein inneres Feld darfst du nur von der Randsumme derselben Zeile oder Spalte abziehen.
Teste dich
In einer Gruppe von 30 Personen haben 12 blonde Haare und blaue Augen. Der relative Anteil dieses inneren Feldes ist: \frac{12}{30}=0{,}4=40\,\% Die Zahl 12 und der Anteil 40 % beschreiben dieselbe Gruppe, aber in verschiedenen Darstellungen. Rundest du Dezimalzahlen, können die gerundeten Werte zusammen knapp von 1 oder 100\,\% abweichen. Rechne möglichst lange mit exakten Brüchen und runde erst am Ende einheitlich. Verwechsle Anzahl und Anteil nicht: Erst durch die Gesamtzahl geteilt wird aus 12 ein Anteil.
Definition
Absolute Häufigkeit
Eine absolute Häufigkeit ist eine Anzahl, zum Beispiel 12 Personen. Unten rechts steht die Gesamtzahl G.
Definition
Relative Häufigkeit
Eine relative Häufigkeit ist der Anteil an der Gesamtzahl. Du erhältst sie durch \text{relative Häufigkeit}=\frac{\text{absolute Häufigkeit}}{\text{Gesamtzahl}} Unten rechts steht 1 oder 100\,\%.
Teste dich
Eine bedingte Wahrscheinlichkeit oder ein bedingter Anteil betrachtet nur eine ausgewählte Teilgruppe. Diese Bedingung bestimmt den Nenner. Für „Anteil von A unter den Fällen mit B“ gilt bei einer Wahrscheinlichkeitstafel: P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)} Das ist nur möglich, wenn P(B)>0 ist. Bei absoluten Häufigkeiten kannst du entsprechend die Anzahlen teilen: \text{Anteil von }A\text{ unter }B=\frac{H(A\cap B)}{H(B)}
Beispiel: Zwei Fragen, zwei Nenner
- 116 Jungen, davon bestehen 13; insgesamt bestehen 20 Personen
- 2Anteil der Jungen, die bestehen: \frac{13}{16}=0{,}8125=81{,}25\,\%
- 3Anteil der Jungen unter den Bestandenen: \frac{13}{20}=0{,}65=65\,\%
- 4Der Zähler bleibt 13, der Nenner wechselt mit der Bezugsgruppe.
Merke: Unterstreiche in einer Frage gedanklich die Formulierung „unter den …“. Die danach genannte Gruppe gehört in den Nenner.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Vierfeldertafel
Innere Felder
Kombinationen zweier Merkmale
Ränder
Summen der Zeilen und Spalten
Absolute Tafel
Anzahlen mit Gesamtzahl
Relative Tafel
Anteile mit Gesamtwert 1 oder 100 %
Fehlende Werte
Randsumme minus bekanntes Feld
Bedingter Anteil
Schnittmenge durch Bezugsgruppe
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Brille und Sport-AG
- 1Gegeben: 40 Personen, 15 mit Brille, davon 6 in der Sport-AG; 18 in der Sport-AG insgesamt
- 2Brille, keine AG: 15 - 6 = 9
- 3Keine Brille: 40 - 15 = 25
- 4Keine Brille, AG: 18 - 6 = 12
- 5Keine Brille, keine AG: 25 - 12 = 13
- 6Kontrolle: 9 + 13 = 22 und 40 - 18 = 22
- 7Anteil mit Brille unter den AG-Mitgliedern: \frac{6}{18}\approx 33{,}3\,\%
Fehler finden
Mit dem Fahrrad zur Schule: 7a und 7b In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3Die 14 gehören zur Spalte 7a. Für „7b mit Fahrrad“ ziehst du sie von der Zeilensumme „mit Fahrrad“ ab, nicht von der 7b: 30 - 14 = 16. Dann bleiben 26 - 16 = 10 in der 7b ohne Fahrrad.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Die vier inneren Felder enthalten die zweier Merkmale. Ein fehlendes Feld berechnest du mit Randsumme bekanntem Feld. Bei einem bedingten Anteil gehört die Bezugsgruppe in den .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback