Mathematik · Klasse 9–10 · aktualisiert
Tetraeder: Oberfläche und Volumen berechnen
Ein Tetraeder besteht aus vier Dreiecken. Du lernst, Oberfläche, Höhe und Volumen zu berechnen, beim regelmäßigen und beim allgemeinen Tetraeder.
0 von 12 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Ein Tetraeder ist ein Körper aus vier Dreiecksflächen mit vier Ecken und sechs Kanten. Beim regelmäßigen Tetraeder sind alle sechs Kanten gleich lang, dann gilt O = \sqrt3\,a^2 und V = \frac{\sqrt2}{12}a^3. Für jedes Tetraeder gilt V = \frac13 G h.
Ein Tetraeder ist ein Körper mit vier dreieckigen Flächen, vier Ecken und sechs Kanten. Nur beim regelmäßigen Tetraeder sind alle Flächen gleichseitige Dreiecke und alle Kanten gleich lang. Diese Unterscheidung entscheidet darüber, welche Formeln du verwenden darfst.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Stell dir eine Pyramide mit einem Dreieck als Grundfläche vor. Sie besitzt drei weitere Dreiecke als Seitenflächen. Zusammen sind das vier Dreiecksflächen: ein Tetraeder. Die Zahlen passen auch zur Euler-Beziehung für konvexe Polyeder: E-K+F=4-6+4=2 Dabei steht E für Ecken, K für Kanten und F für Flächen. Beim regelmäßigen Tetraeder sind alle sechs Kanten gleich lang. Deshalb sind seine vier Flächen kongruente, also deckungsgleiche, gleichseitige Dreiecke. Eine einzige Kantenlänge a bestimmt den ganzen Körper. Ein allgemeines Tetraeder darf ganz unterschiedlich lange Kanten haben. Die Bezeichnung „Tetraeder“ allein ist daher keine Erlaubnis, die Formeln für die regelmäßige Form einzusetzen.
Definition
Tetraeder
Ein Tetraeder ist ein Polyeder mit vier dreieckigen Flächen. Es hat vier Ecken und sechs Kanten. Jede Fläche kann als Grundfläche einer dreiseitigen Pyramide betrachtet werden.
Merke: Die Formeln O=\sqrt3\,a^2 und V=\frac{\sqrt2}{12}a^3 gelten nur für ein regelmäßiges Tetraeder.
Teste dich
Die Oberfläche O ist die Summe aller vier Dreiecksflächen. Für ein gleichseitiges Dreieck mit Seitenlänge a gilt: A_D=\frac{\sqrt3}{4}a^2 Vier gleiche Flächen ergeben: O=4\cdot A_D=4\cdot\frac{\sqrt3}{4}a^2=\sqrt3\,a^2
Beispiel: Oberfläche für a = 6\,\text{cm}
- 1O = \sqrt3 \cdot (6\,\text{cm})^2
- 2O = 36\sqrt3\,\text{cm}^2 \approx 62{,}35\,\text{cm}^2
- 3Eine Fläche hat eine quadratische Einheit: \text{cm}^2.
Teste dich
Die Körperhöhe h steht senkrecht auf einer Dreiecksfläche und führt von dieser Grundfläche zur gegenüberliegenden Ecke. Beim regelmäßigen Tetraeder gilt: h=\frac{\sqrt6}{3}a=a\sqrt{\frac23} Wie bei jeder Pyramide berechnest du das Volumen mit einem Drittel aus Grundfläche mal Höhe: V=\frac13G h Für das regelmäßige Tetraeder ist G=\frac{\sqrt3}{4}a^2. Einsetzen und Vereinfachen führt zu: V=\frac13\cdot\frac{\sqrt3}{4}a^2\cdot\frac{\sqrt6}{3}a=\frac{\sqrt2}{12}a^3
Beispiel: Höhe und Volumen für a = 6\,\text{cm}
- 1h = \frac{\sqrt6}{3} \cdot 6\,\text{cm} = 2\sqrt6\,\text{cm} \approx 4{,}90\,\text{cm}
- 2V = \frac{\sqrt2}{12} \cdot (6\,\text{cm})^3 = 18\sqrt2\,\text{cm}^3 \approx 25{,}46\,\text{cm}^3
- 3Ein Volumen hat eine kubische Einheit: \text{cm}^3.
Teste dich
Ist ein Tetraeder nicht als regelmäßig gekennzeichnet, brauchst du Angaben zu seiner tatsächlichen Grundfläche und Höhe. Dann gilt weiterhin die Pyramidenformel V=\frac13G h. Sind stattdessen vier Eckpunkte im Koordinatensystem gegeben, kannst du von einer Ecke drei Kantenvektoren \vec a, \vec b und \vec c bilden. Das Spatprodukt liefert zunächst das Volumen des zugehörigen Spats. Ein Tetraeder nimmt davon ein Sechstel ein: V=\frac16\left|(\vec a\times\vec b)\cdot\vec c\right|. Der Betrag ist wichtig: Das Vorzeichen des Spatprodukts hängt von der Reihenfolge der Vektoren ab, ein geometrisches Volumen ist aber nie negativ. Prüfe außerdem, ob h wirklich senkrecht auf genau der gewählten Grundfläche steht.
Beispiel: Volumen aus drei Kantenvektoren
- 1\vec a = (1, 4, 8), \vec b = (-1, 1, 3), \vec c = (4, 6, 3)
- 2\vec a \times \vec b = (4, -11, 5)
- 3(\vec a \times \vec b) \cdot \vec c = 16 - 66 + 15 = -35
- 4V = \frac16 \cdot |-35| = \frac{35}{6} \approx 5{,}83 Kubikeinheiten
Merke: Prüfe vor jeder Rechnung: Ist das Tetraeder wirklich regelmäßig? Nur eine ausdrückliche Angabe oder sechs gleich lange Kanten zählen, eine symmetrisch wirkende Skizze nicht.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Tetraeder
Aufbau
4 Ecken, 6 Kanten, 4 Dreiecksflächen
Allgemein
V=\frac13Gh
Regelmäßig
alle 6 Kanten gleich lang; O=\sqrt3\,a^2; h=\frac{\sqrt6}{3}a; V=\frac{\sqrt2}{12}a^3
Koordinaten
drei Kantenvektoren von einer Ecke; Volumen als ein Sechstel des Spatproduktbetrags
Einheiten
Oberfläche in cm², Volumen in cm³
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Regelmäßiges Tetraeder mit a = 10\,\text{cm}
- 1Oberfläche: O = \sqrt3 \cdot (10\,\text{cm})^2 = 100\sqrt3\,\text{cm}^2 \approx 173{,}21\,\text{cm}^2
- 2Höhe: h = \frac{\sqrt6}{3} \cdot 10\,\text{cm} \approx 8{,}16\,\text{cm}
- 3Volumen: V = \frac{\sqrt2}{12} \cdot (10\,\text{cm})^3 \approx 117{,}85\,\text{cm}^3
- 4Einheiten prüfen: Fläche in \text{cm}^2, Volumen in \text{cm}^3
Fehler finden
Volumen mit G = 18\,\text{cm}^2 und h = 7\,\text{cm} In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 2Der Faktor \frac13 fehlt: G \cdot h wäre das Volumen eines Prismas. Richtig ist V = \frac13 \cdot 18\,\text{cm}^2 \cdot 7\,\text{cm} = 42\,\text{cm}^3.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Ein Tetraeder hat vier Flächen und Kanten. Beim regelmäßigen Tetraeder sind alle Flächen Dreiecke. Das Volumen jedes Tetraeders ist von Grundfläche mal Höhe.
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback