Sinussatz: Seiten und Winkel sicher berechnen

In einem Dreieck heißen die Seiten a, b und c. Ihnen liegen die Winkel \alpha, \beta und \gamma jeweils gegenüber: a gehört zu \alpha, b zu \beta und c zu \gamma. Zur Erinnerung: Im rechtwinkligen Dreieck ist der Sinus eines spitzen Winkels das Verhältnis Gegenkathete zu Hypotenuse. Die drei Innenwinkel eines Dreiecks sind positiv und ergeben zusammen 180^\circ. Für eine Rechnung brauchst du ein vollständiges Seiten-Winkel-Paar, etwa a und \alpha, sowie eine weitere Seite oder einen weiteren Winkel. Ein Paar allein reicht nicht. Sind eine Seite und zwei Winkel gegeben, bestimmst du den fehlenden Gegenwinkel zuerst mit der Winkelsumme. Aus der Dreifachgleichung wählst du nur die beiden Quotienten, die die bekannte und die gesuchte Größe enthalten. Stelle den Taschenrechner auf DEG, also Gradmaß.

Gegeben seien a=6{,}10\,\mathrm{cm}, \alpha=45^\circ und \beta=55^\circ. Gesucht ist b. Der Ablauf bleibt immer gleich: vollständiges bekanntes Paar markieren, passenden zweiten Quotienten wählen, nach der gesuchten Seite umstellen, einsetzen, die Einheit übernehmen und das Ergebnis prüfen. Runde möglichst erst das Endergebnis.

Beim Berechnen eines Winkels stellst du zunächst nach seinem Sinuswert um und verwendest dann den Arkussinus. Auf dem Taschenrechner steht dafür oft \sin^{-1} oder asin; das ist nicht der Kehrwert 1/\sin. Im Fall Seite–Seite–Winkel kennst du zwei Seiten und einen Winkel, der einer davon gegenüberliegt. Dann kann derselbe positive Sinuswert zu zwei Winkeln gehören, denn für Winkel zwischen 0^\circ und 180^\circ gilt \sin\theta=\sin(180^\circ-\theta) Prüfe zuerst den berechneten Sinuswert: Für einen Innenwinkel muss er größer als 0 und höchstens 1 sein. Bei genau 1 ist der Winkel 90^\circ, und es gibt keine zweite Lösung. Ein Wert über 1 bedeutet, dass die Angaben kein Dreieck zulassen: a=4\,\mathrm{cm}, \alpha=30^\circ und b=9\,\mathrm{cm} führen zu \sin\beta=\frac{9\cdot0{,}5}{4}=1{,}125. Prüfe nach jeder Winkelberechnung, ob die Ergänzungslösung 180^\circ-\theta passt, ob alle Winkel positiv sind und zusammen 180^\circ ergeben und ob jede Seite kürzer als die Summe der beiden anderen ist.

Der Sinussatz passt, wenn ein vollständiges Seiten-Winkel-Paar und eine Größe eines weiteren Paares bekannt sind. Der Kosinussatz ergänzt ihn. Der Kosinus ist im rechtwinkligen Dreieck das Verhältnis Ankathete zu Hypotenuse. Den Kosinussatz brauchst du bei drei bekannten Seiten oder bei zwei Seiten mit ihrem eingeschlossenen Winkel, der zwischen den beiden Seiten liegt. Zwischen a und b liegt \gamma, und es gilt c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma Bei \gamma=90^\circ ist \cos(90^\circ)=0, und es bleibt der Satz des Pythagoras c^2=a^2+b^2. Hast du mit dem Kosinussatz ein vollständiges Paar gewonnen, kannst du danach mit dem Sinussatz weiterrechnen. Warum gilt der Sinussatz überhaupt? Eine Höhe ist die senkrechte Strecke von einem Eckpunkt zur gegenüberliegenden Seite. Die Höhe h_c teilt ein spitzwinkliges Dreieck in zwei rechtwinklige Teildreiecke, in denen \sin\beta=\frac{h_c}{a} und \sin\alpha=\frac{h_c}{b} gilt. Bei einem stumpfen Winkel liegt die Höhe auf der Verlängerung der Gegenseite; wegen \sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha bleibt die Beziehung gleich.