Mathematik · Klasse 9–10 · aktualisiert
Tangens im rechtwinkligen Dreieck berechnen
Der Tangens verbindet einen Winkel im rechtwinkligen Dreieck mit dem Verhältnis der Katheten. Du lernst, damit Seiten und Winkel zu berechnen.
0 von 12 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Der Tangens eines spitzen Winkels im rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis Gegenkathete durch Ankathete: \tan(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}. Sind beide Katheten bekannt, erhältst du den Winkel mit dem Arkustangens, zum Beispiel \arctan(1)=45^\circ.
Der Tangens verbindet einen spitzen Winkel mit Gegenkathete und Ankathete. Im rechtwinkligen Dreieck gilt: \tan(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} Du kannst damit eine Kathete oder einen Winkel berechnen, wenn die beiden anderen Größen bekannt sind.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Betrachte zuerst den Winkel, zu dem du rechnen möchtest. Die Namen der Katheten hängen von diesem Winkel ab. Die Hypotenuse liegt immer gegenüber dem rechten Winkel. Sie kommt in der Tangensformel nicht vor. Bezeichnest du die Gegenkathete zu \alpha mit a und die Ankathete mit b, dann gilt: \tan(\alpha)=\frac{a}{b} Wechselst du vom Winkel \alpha zum anderen spitzen Winkel, tauschen Gegen- und Ankathete ihre Rollen.
Definition
Gegenkathete
Die Gegenkathete liegt dem betrachteten Winkel gegenüber.
Definition
Ankathete
Die Ankathete liegt am betrachteten Winkel. Sie bildet zusammen mit der Hypotenuse den Winkel.
Merke: Erst den Winkel markieren, dann die Seiten benennen: gegenüber ist die Gegenkathete, daneben ist die Ankathete.
Teste dich
Rechtwinklige Dreiecke mit demselben spitzen Winkel haben dieselbe Form. Ihre Seiten können unterschiedlich lang sein, werden aber alle mit demselben Faktor vergrößert oder verkleinert. Wird beispielsweise jede Kathete verdoppelt, bleibt ihr Verhältnis gleich: \frac{2a}{2b}=\frac{a}{b} Deshalb gehört zu jedem spitzen Winkel ein bestimmter Tangenswert. Für 45^\circ gilt zum Beispiel \tan(45^\circ)=1. Gegenkathete und Ankathete sind dann gleich lang. Für 0^\circ<\alpha<90^\circ ist der Tangenswert positiv. \tan(90^\circ) ist nicht definiert, weil die zugehörige Ankathete im Nenner null wäre.
Merke: Der Tangenswert hängt nur vom Winkel ab, nicht von der Größe des Dreiecks. Für 45^\circ gilt immer \tan(45^\circ)=1.
Teste dich
Beginne immer mit der Grundgleichung. Stelle sie erst danach nach der gesuchten Größe um. Gegenkathete gesucht: Sind Winkel und Ankathete bekannt, multiplizierst du mit der Ankathete: \text{Gegenkathete}=\tan(\alpha)\cdot\text{Ankathete} Ankathete gesucht: Sind Winkel und Gegenkathete bekannt, teilst du durch den Tangenswert: \text{Ankathete}=\frac{\text{Gegenkathete}}{\tan(\alpha)} Winkel gesucht: Sind beide Katheten bekannt, verwendest du die Umkehrfunktion Arkustangens. Auf dem Taschenrechner steht dafür meist \tan^{-1} oder \operatorname{atan}: \alpha=\arctan\left(\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}\right) Dabei bedeutet \tan^{-1} hier nicht den Kehrwert 1/\tan, sondern die Umkehrfunktion, die aus einem Tangenswert den Winkel bestimmt.
Beispiel: Winkel berechnen: a=5\,\mathrm{km}, b=7\,\mathrm{km}
- 1Beide Seiten sind Katheten, also passt der Tangens.
- 2\tan(\alpha)=\frac{5\,\mathrm{km}}{7\,\mathrm{km}}=\frac{5}{7}
- 3\alpha=\arctan\left(\frac{5}{7}\right)\approx35{,}54^\circ
- 4Plausibel: a<b, also ist \alpha kleiner als 45^\circ.
Beispiel: Gegenkathete berechnen: \alpha=60^\circ, b=7{,}7\,\mathrm{mm}
- 1\tan(60^\circ)=\frac{a}{7{,}7\,\mathrm{mm}}
- 2a=\tan(60^\circ)\cdot7{,}7\,\mathrm{mm}
- 3a\approx13{,}34\,\mathrm{mm}
- 4Plausibel: Bei 60^\circ ist die Gegenkathete länger als die Ankathete.
Beispiel: Ankathete berechnen: \alpha=50^\circ, a=5\,\mathrm{m}
- 1\tan(50^\circ)=\frac{5\,\mathrm{m}}{b}
- 2b=\frac{5\,\mathrm{m}}{\tan(50^\circ)}
- 3b\approx4{,}2\,\mathrm{m}
Teste dich
Seiten zu früh benennen: Gegen- und Ankathete hängen vom betrachteten Winkel ab. Die Hypotenuse einsetzen: Der Tangens verwendet nur die beiden Katheten. Den Bruch vertauschen: Es gilt Gegenkathete durch Ankathete, nicht umgekehrt. Tangens statt Arkustangens wählen: Bei einem gesuchten Winkel brauchst du die Umkehrfunktion. Den falschen Rechnermodus nutzen: Für Winkel in Grad muss der Rechner im Gradmodus stehen. Zu früh runden: Rechne möglichst mit dem ungerundeten Wert weiter und runde erst das Endergebnis. Die Einheit vergessen: Ein Winkel erhält die Einheit Grad; eine Seitenlänge behält ihre Längeneinheit.
Merke: Bei Winkelaufgaben muss der Taschenrechner auf Gradmaß stehen, wenn das Ergebnis in Grad angegeben werden soll.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Tangens
Seiten zuordnen
Gegenkathete liegt gegenüber; Ankathete liegt am Winkel
Grundformel anwenden
Gegenkathete durch Ankathete; Gleichung nach der gesuchten Größe umstellen
Winkel bestimmen
Seitenverhältnis bilden; Arkustangens verwenden
Ergebnis prüfen
passende Einheit; plausibler spitzer Winkel
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Wie hoch ist ein Baum, der einen 12 m langen Schatten wirft, wenn die Sonnenstrahlen unter 35^\circ einfallen?
- 1Gegeben: \alpha=35^\circ und die Ankathete (Schatten) 12\,\mathrm{m}
- 2Gesucht: die Gegenkathete (Höhe) h
- 3\tan(35^\circ)=\frac{h}{12\,\mathrm{m}}
- 4h=\tan(35^\circ)\cdot12\,\mathrm{m}\approx8{,}40\,\mathrm{m}
Fehler finden
Winkel \alpha bei Gegenkathete a=4\,\mathrm{cm} und Ankathete b=10\,\mathrm{cm} In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 2Zähler und Nenner sind vertauscht: Die Gegenkathete gehört in den Zähler. Richtig ist \tan(\alpha)=\frac{4\,\mathrm{cm}}{10\,\mathrm{cm}}=0{,}4, also \alpha=\arctan(0{,}4)\approx21{,}8^\circ.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Beim Tangens steht die im Zähler und die im Nenner. Ist der Winkel gesucht, verwendest du den .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback