Trigonometrie: Sinus, Kosinus und Tangens

Trigonometrie untersucht Beziehungen zwischen Seiten und Winkeln von Dreiecken. Dadurch kannst du zum Beispiel eine Höhe oder Entfernung bestimmen, ohne sie direkt zu messen. Der Grundgedanke lautet: Rechtwinklige Dreiecke mit demselben spitzen Winkel sind ähnlich. Ihre Seiten können unterschiedlich lang sein, aber die entsprechenden Seitenverhältnisse bleiben gleich. Deshalb hängen Sinus, Kosinus und Tangens nur vom Winkel ab. Zuerst suchst du den rechten Winkel. Die Seite gegenüber diesem Winkel heißt Hypotenuse. Sie ist die längste Seite des rechtwinkligen Dreiecks. Die beiden anderen Seiten heißen Katheten. Ihre genauere Bezeichnung hängt davon ab, welchen spitzen Winkel du betrachtest: Die Gegenkathete liegt dem betrachteten Winkel gegenüber. Die Ankathete berührt den betrachteten Winkel und ist nicht die Hypotenuse. Wechselst du vom einen spitzen Winkel zum anderen, tauschen Gegenkathete und Ankathete ihre Rollen. Die Hypotenuse bleibt dieselbe.

Für einen spitzen Winkel \alpha im rechtwinkligen Dreieck gelten: \sin(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} \cos(\alpha)=\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} \tan(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} Wähle die Funktion nach den Seiten aus, die gegeben oder gesucht sind: Gegenkathete und Hypotenuse: Sinus. Ankathete und Hypotenuse: Kosinus. Gegenkathete und Ankathete: Tangens. Sind zwei Seiten bekannt, bildest du zuerst das passende Verhältnis. Danach verwendest du die zugehörige Umkehrfunktion: \arcsin gehört zum Sinus, \arccos gehört zum Kosinus, \arctan gehört zum Tangens. Auf dem Taschenrechner heißen diese Funktionen häufig sin⁻¹, cos⁻¹ und tan⁻¹. Für Winkel in Grad muss der Rechner auf Gradmaß eingestellt sein.

Sinus- und Kosinussatz gelten in jedem Dreieck, also auch dann, wenn kein rechter Winkel vorhanden ist. Bezeichne die Seiten mit a, b, c und die jeweils gegenüberliegenden Winkel mit \alpha, \beta, \gamma. Der Sinussatz lautet: \frac{a}{\sin(\alpha)}=\frac{b}{\sin(\beta)}=\frac{c}{\sin(\gamma)} Er ist besonders nützlich, wenn eine Seite und zwei Winkel oder zwei Seiten mit einem gegenüberliegenden Winkel bekannt sind. Der Kosinussatz lautet beispielsweise für die Seite a: a^2=b^2+c^2-2bc\cos(\alpha) Er passt besonders gut, wenn zwei Seiten und ihr eingeschlossener Winkel oder alle drei Seiten gegeben sind. Auch der Flächeninhalt lässt sich aus zwei Seiten und ihrem eingeschlossenen Winkel bestimmen: A=\frac12ab\sin(\gamma) Sind zum Beispiel a=b=5\,\mathrm{cm} und \gamma=30^\circ, dann gilt: A=\frac12\cdot5\,\mathrm{cm}\cdot5\,\mathrm{cm}\cdot0{,}5=6{,}25\,\mathrm{cm}^2

Die Definitionen am rechtwinkligen Dreieck erklären zunächst spitze Winkel. Der Einheitskreis erweitert Sinus und Kosinus auf größere, negative und über 360^\circ hinausgehende Winkel. Ein Punkt auf dem Einheitskreis besitzt zum Winkel \alpha die Koordinaten (\cos(\alpha),\sin(\alpha)). Damit ist der Kosinus die x-Koordinate und der Sinus die y-Koordinate. Daraus lassen sich auch die Vorzeichen ablesen: Für 90^\circ<\alpha<270^\circ ist der Kosinus negativ. Für 180^\circ<\alpha<360^\circ ist der Sinus negativ. Wo \cos(\alpha)\ne0 gilt, ist \tan(\alpha)=\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}. Da die Koordinaten auf einem Kreis mit Radius 1 liegen, gilt der trigonometrische Pythagoras: \sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)=1. Für ergänzende Winkel gelten außerdem: \sin(90^\circ-\alpha)=\cos(\alpha) \cos(90^\circ-\alpha)=\sin(\alpha)