Mathematik · Klasse 9–10 · aktualisiert
Schnittwinkel berechnen: Geraden, Funktionen, Ebenen
Der Schnittwinkel ist der kleinere Winkel am Schnittpunkt. Du berechnest ihn für zwei Geraden, für die Achsen, für gekrümmte Graphen und im Raum.
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Kurz gesagt
Der Schnittwinkel ist der kleinere der Winkel, unter denen sich zwei Geraden schneiden, also höchstens 90°. Für Geraden mit den Steigungen m_1 und m_2 gilt \tan\alpha=\left|\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}\right|. Bei gekrümmten Graphen setzt du die Ableitungswerte am Schnittpunkt ein.
Der Schnittwinkel ist der kleinere Winkel, unter dem sich zwei geometrische Objekte schneiden. Bei Geraden in Funktionsform berechnest du ihn aus den Steigungen; bei gekrümmten Funktionen brauchst du die Tangentensteigungen am Schnittpunkt. Für eine Gerade und eine Ebene arbeitest du mit Vektoren. Auf dieser Seite lernst du, zuerst den passenden Fall zu erkennen und den Winkel anschließend sicher zu berechnen. Stelle deinen Taschenrechner für Winkelangaben in Grad auf DEG.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Schneiden sich zwei verschiedene Geraden, entstehen vier Winkel. Gegenüberliegende Winkel sind gleich groß, benachbarte ergänzen sich zu 180^\circ: \alpha+\beta=180^\circ. Als Schnittwinkel nimmst du den kleineren. In der Form y=mx+b vergleichst du zuerst die Steigungen. Gleiche Steigung und verschiedene Achsenabschnitte bedeuten: Die Geraden sind parallel und haben keinen Schnittpunkt. Gleiche Steigung und gleicher Achsenabschnitt bedeuten: Die Geraden sind identisch und haben keinen eindeutig bestimmten Schnittwinkel. Verschiedene Steigungen liefern immer einen Schnittpunkt; gilt dabei m_1m_2=-1, stehen die Geraden senkrecht und \alpha=90^\circ.
Definition
Schnittwinkel
Der Schnittwinkel \alpha zweier sich schneidender Geraden ist der kleinere der Winkel an ihrem Schnittpunkt. Es gilt 0^\circ<\alpha\leq90^\circ.
Beispiel: y=2x-1 und y=2x+4
- 1Steigungen: beide m=2
- 2Achsenabschnitte: -1 und 4, also verschieden
- 3Die Geraden sind parallel: Es gibt keinen Schnittwinkel.
Teste dich
Für zwei sich schneidende Geraden y=m_1x+b_1 und y=m_2x+b_2 setzt du die Steigungen in die Formel ein: \tan\alpha=\left|\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}\right| Danach wendest du den Arcustangens an, die Umkehrfunktion des Tangens (auf dem Taschenrechner \tan^{-1}, Modus DEG): \alpha=\arctan\left(\left|\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}\right|\right). Der Betrag sorgt für den positiven kleineren Winkel, die Reihenfolge von m_1 und m_2 spielt keine Rolle. Für den Winkel einer Geraden y=mx+b mit m\neq0 zur x-Achse gilt \alpha=\arctan(|m|). Weil die Achsen senkrecht aufeinander stehen, ist der Winkel zur y-Achse \beta=90^\circ-\alpha.
Merke: Prüfe vor dem Einsetzen: Sind die Steigungen gleich, gibt es keinen eindeutig bestimmten Schnittwinkel. Gilt m_1m_2=-1, stehen die Geraden senkrecht und \alpha=90^\circ. In diesem Sonderfall wäre der Nenner der Formel null.
Beispiel: g: y=0{,}25x+3 und h: y=2x-7
- 1Steigungen: m_1=0{,}25 und m_2=2
- 2\tan\alpha=\left|\frac{0{,}25-2}{1+0{,}25\cdot2}\right|=\left|\frac{-1{,}75}{1{,}5}\right|=\frac{7}{6}
- 3\alpha=\arctan\left(\frac{7}{6}\right)\approx49{,}4^\circ
- 4Plausibel: positiv und kleiner als 90^\circ
Beispiel: Achsenwinkel von y=-1{,}5x+6
- 1\alpha=\arctan(|-1{,}5|)=\arctan(1{,}5)\approx56{,}3^\circ
- 2\beta=90^\circ-56{,}3^\circ=33{,}7^\circ
- 3Kontrolle: 56{,}3^\circ+33{,}7^\circ=90^\circ
Teste dich
Bei einer nichtlinearen Funktion ist die Steigung nicht überall gleich. Deshalb verwendest du am Schnittpunkt die Steigung der Tangente, also der Geraden, die den Graphen dort berührt. Die Ableitung liefert diese lokale Steigung. Schneiden sich f und g an der Stelle x=a, setzt du m_1=f'(a) und m_2=g'(a) in die Geradenformel ein, nicht die Funktionsgleichungen selbst. An einem anderen Schnittpunkt kann ein anderer Winkel entstehen, weil sich die lokalen Steigungen ändern.
Beispiel: f(x)=x^2+2 und g(x)=2x+5 bei x=-1
- 1Schnittstellen: x^2+2=2x+5 ergibt x=-1 oder x=3
- 2Ableitungen: f'(x)=2x und g'(x)=2
- 3m_1=f'(-1)=-2 und m_2=2
- 4\tan\alpha=\left|\frac{-2-2}{1+(-2)\cdot 2}\right|=\frac{4}{3}
- 5\alpha=\arctan\left(\frac{4}{3}\right)\approx53{,}13^\circ
Teste dich
Im Raum brauchst du zwei Vektoren: den Richtungsvektor \vec u der Geraden und den Normalenvektor \vec n der Ebene. Ein Normalenvektor steht senkrecht auf der Ebene. Der kleinere Schnittwinkel \gamma zwischen Gerade und Ebene erfüllt: \sin\gamma=\left|\frac{\vec u\cdot\vec n}{|\vec u|\cdot|\vec n|}\right| Dabei bedeutet \vec u\cdot\vec n das Skalarprodukt und |\vec u|, |\vec n| die Vektorlängen. Anschließend berechnest du \gamma mit dem Arkussinus.
Beispiel: \vec u=(2,4,3) und \vec n=(-1,2,4)
- 1\vec u\cdot\vec n=2\cdot(-1)+4\cdot2+3\cdot4=18
- 2|\vec u|=\sqrt{2^2+4^2+3^2}=\sqrt{29}
- 3|\vec n|=\sqrt{(-1)^2+2^2+4^2}=\sqrt{21}
- 4\sin\gamma=\frac{18}{\sqrt{29}\cdot\sqrt{21}}\approx0{,}7294
- 5\gamma=\arcsin\left(\frac{18}{\sqrt{29}\cdot\sqrt{21}}\right)\approx46{,}84^\circ
Teste dich
Alles auf einen Blick
Schnittwinkel berechnen
Fall erkennen
gleiche Steigungen bedeuten parallel oder identisch, also keinen Schnittwinkel
Zwei Geraden
\tan\alpha=\left|\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}\right|, bei m_1m_2=-1 gilt \alpha=90^\circ
Koordinatenachsen
\arctan(|m|) und Ergänzung zu 90^\circ
Gekrümmte Funktionen
Ableitungswerte am Schnittpunkt als Steigungen
Gerade und Ebene
Richtungs- und Normalenvektor in die Sinusformel
Ergebnis prüfen
kleiner positiver Winkel bis 90^\circ
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Schnittwinkel von g: y=3x-1 und h: y=-x+2
- 1Steigungen: m_1=3 und m_2=-1
- 2Sonderfälle prüfen: m_1\neq m_2 und m_1m_2=-3, also nicht senkrecht
- 3\tan\alpha=\left|\frac{3-(-1)}{1+3\cdot(-1)}\right|=\left|\frac{4}{-2}\right|=2
- 4\alpha=\arctan(2)\approx63{,}4^\circ
- 5Der Nebenwinkel 180^\circ-63{,}4^\circ=116{,}6^\circ ist größer, gesucht ist der kleinere.
Fehler finden
Schnittwinkel von y=2x+1 und y=-3x+4 In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3Im Nenner wurde das Minus von m_2 übersehen: 1+2\cdot(-3)=1-6=-5. Richtig ist \tan\alpha=\left|\frac{5}{-5}\right|=1, also \alpha=45^\circ.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Der Schnittwinkel ist der der beiden Winkel am Schnittpunkt. Gilt m_1m_2=-1, stehen die Geraden . Bei gekrümmten Funktionen setzt du die am Schnittpunkt ein.
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback