Pyramidenstumpf: Volumen und Oberfläche berechnen

Stell dir eine Pyramide vor. Eine Ebene schneidet sie parallel zur Grundfläche. Die Spitze wird entfernt, der verbleibende Körper ist der Pyramidenstumpf. Die entfernte Spitze ist eine kleinere, zur ursprünglichen Pyramide ähnliche Ergänzungspyramide. Der Stumpf besitzt die größere Grundfläche mit dem Flächeninhalt A_1, die kleinere Deckfläche mit dem Flächeninhalt A_2, den Mantel aus trapezförmigen Seitenflächen und die Raumhöhe h als senkrechten Abstand zwischen Grund- und Deckfläche. Grund- und Deckfläche müssen nicht quadratisch sein. Sie können zum Beispiel ähnliche Dreiecke, Vierecke oder Fünfecke sein.

Für einen Pyramidenstumpf mit den Flächeninhalten A_1 und A_2 sowie der Raumhöhe h gilt: V=\frac{1}{3}h\left(A_1+\sqrt{A_1A_2}+A_2\right) Der mittlere Ausdruck \sqrt{A_1A_2} verbindet beide Flächen. Addiere also nicht nur A_1 und A_2. Die Formel entsteht so: Volumen der ganzen Pyramide minus Volumen der abgeschnittenen Ergänzungspyramide. Wegen der Ähnlichkeit verhalten sich deren Höhen wie \sqrt{A_1}:\sqrt{A_2}. Beim geraden quadratischen Pyramidenstumpf mit den Seitenlängen a und b gilt A_1=a^2 und A_2=b^2. Da Seitenlängen positiv sind, ist \sqrt{a^2b^2}=ab, und die Formel vereinfacht sich zu V=\frac{h}{3}(a^2+ab+b^2)

Die gesamte Oberfläche ist immer O=A_1+A_2+M, wobei M den Flächeninhalt des Mantels bezeichnet. Beim geraden quadratischen Pyramidenstumpf besteht der Mantel aus vier gleichen Trapezen. Mit der Mantelhöhe h_m gilt: M=4\cdot\frac{1}{2}(a+b)h_m=2(a+b)h_m Damit erhältst du O=a^2+b^2+2(a+b)h_m Die Mantelhöhe bestimmst du mit dem Satz des Pythagoras: h_m=\sqrt{h^2+\left(\frac{a-b}{2}\right)^2}

Die meisten Fehler beim Pyramidenstumpf haben mit den beiden Höhen zu tun. Prüfe vor jedem Einsetzen, ob du gerade das Volumen oder die Mantelfläche berechnest. Vergiss bei der Oberfläche die Deckfläche nicht: Zur Oberfläche gehören Grundfläche, Deckfläche und Mantel. Und achte auf die Einheiten: Flächen stehen in Quadrateinheiten, Volumen in Kubikeinheiten.