Mathematik · Klasse 9–10 · aktualisiert
Pyramide: Volumen, Oberfläche und Höhe berechnen
Eine Pyramide hat eine vieleckige Grundfläche und eine Spitze. Du lernst, Volumen, Oberfläche und fehlende Höhen zu berechnen.
0 von 9 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Eine Pyramide ist ein Körper mit einer vieleckigen Grundfläche und dreieckigen Seitenflächen, die sich in einer Spitze treffen. Ihr Volumen ist V=\frac{1}{3}G\cdot h, ihre Oberfläche O=G+M. Bei der geraden quadratischen Pyramide gilt O=a^2+2ah_s.
Eine Pyramide hat eine vieleckige Grundfläche und dreieckige Seitenflächen, die sich in einer Spitze treffen. Für ihr Volumen brauchst du den Grundflächeninhalt G und die senkrechte Körperhöhe h. Für die Oberfläche berechnest du zusätzlich den Mantel aus den Seitendreiecken.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Die Grundfläche ist ein Vieleck, zum Beispiel ein Dreieck, Rechteck oder Quadrat. Von jeder Ecke der Grundfläche führt eine Seitenkante zur gemeinsamen Spitze S. Die dreieckigen Seitenflächen bilden zusammen den Mantel. Bei einer geraden quadratischen Pyramide liegt die Spitze senkrecht über dem Mittelpunkt des Quadrats. Dabei musst du drei Längen auseinanderhalten: h ist die Körperhöhe im Inneren der Pyramide, h_s die Höhe eines Seitendreiecks und s die Seitenkante von einer Grundecke zur Spitze.
Definition
Körperhöhe
Die Körperhöhe h ist der senkrechte Abstand zwischen der Spitze und der Ebene der Grundfläche. Eine schräge Seitenkante ist keine Körperhöhe.
Merke: Die Grundfläche bestimmt den Namen: Eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche heißt quadratische Pyramide. Die Anzahl der Seitendreiecke entspricht der Anzahl der Seiten der Grundfläche.
Teste dich
Für jede Pyramide gilt: V=\frac{1}{3}Gh Dabei ist G der Flächeninhalt der Grundfläche und h die senkrechte Körperhöhe. Das Ergebnis hat eine Kubikeinheit wie \text{cm}^3. Der Faktor \frac{1}{3} bedeutet: Eine Pyramide hat bei gleicher Grundfläche und gleicher Höhe ein Drittel des Volumens eines Prismas oder Quaders.
Beispiel: Quadratische Grundfläche mit a=4\,\text{cm}, Höhe h=8\,\text{cm}
- 1Grundfläche: G=a^2=(4\,\text{cm})^2=16\,\text{cm}^2
- 2Einsetzen: V=\frac{1}{3}\cdot16\,\text{cm}^2\cdot8\,\text{cm}=\frac{128}{3}\,\text{cm}^3
- 3Gerundet: V\approx42{,}7\,\text{cm}^3
- 4Die Einheit passt: Fläche mal Länge ergibt ein Volumen.
Teste dich
Die gesamte Oberfläche besteht aus Grundfläche und Mantelfläche: O=G+M Bei einer geraden quadratischen Pyramide besteht der Mantel aus vier gleich großen Dreiecken. Mit Grundkante a und Seitenflächenhöhe h_s gilt für ein Seitendreieck: A_{\text{Dreieck}}=\frac{1}{2}ah_s Damit erhältst du: M=4\cdot\frac{1}{2}ah_s=2ah_s O=a^2+2ah_s
Beispiel: Oberfläche für a=3\,\text{cm} und h_s=8\,\text{cm}
- 1G=3^2=9\,\text{cm}^2
- 2M=2\cdot3\cdot8=48\,\text{cm}^2
- 3O=9+48=57\,\text{cm}^2
Merke: Verwechsle h_s nicht mit der Körperhöhe h: Für den Flächeninhalt eines Seitendreiecks brauchst du die Seitenflächenhöhe h_s.
Teste dich
Bei einer geraden quadratischen Pyramide bilden die Körperhöhe h, die halbe Grundkante \frac{a}{2} und die Seitenflächenhöhe h_s ein rechtwinkliges Dreieck. Deshalb gilt: h_s^2=h^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2 In einem Seitendreieck bilden h_s, die halbe Grundkante und die Seitenkante s ein weiteres rechtwinkliges Dreieck: s^2=h_s^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2 Zusammen folgt auch: s^2=h^2+\frac{a^2}{2}
Beispiel: Gegeben: h=8\,\text{cm} und a=6\,\text{cm}. Gesucht: h_s
- 1Halbe Grundkante: 3\,\text{cm}
- 2h_s^2=8^2+3^2=64+9=73
- 3h_s=\sqrt{73}\,\text{cm}\approx8{,}54\,\text{cm}
- 4Die Seitenflächenhöhe ist länger als die Körperhöhe. Das passt, weil sie schräg verläuft.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Pyramide
Aufbau
Grundfläche, Seitendreiecke, Spitze
Körperhöhe
senkrechter Abstand zur Grundfläche
Volumen
ein Drittel von Grundfläche mal Körperhöhe
Oberfläche
Grundfläche plus Mantel
Quadratische Pyramide
vier Seitendreiecke
Fehlende Längen
rechtwinklige Dreiecke und Pythagoras
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Gerade quadratische Pyramide mit a=8\,\text{cm} und h=3\,\text{cm}
- 1Halbe Grundkante: 4\,\text{cm}
- 2h_s^2=3^2+4^2=9+16=25, also h_s=5\,\text{cm}
- 3G=8^2=64\,\text{cm}^2
- 4M=2\cdot8\cdot5=80\,\text{cm}^2
- 5O=64+80=144\,\text{cm}^2
- 6V=\frac{1}{3}\cdot64\cdot3=64\,\text{cm}^3
Fehler finden
Mantel einer geraden quadratischen Pyramide mit a=16\,\text{cm} und h=6\,\text{cm} In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 2Hier wurde die Körperhöhe als Seitenflächenhöhe genommen. Richtig: h_s=\sqrt{6^2+8^2}=10\,\text{cm}, also M=2\cdot16\cdot10=320\,\text{cm}^2.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Das Volumen einer Pyramide ist des Volumens eines Prismas mit gleicher Grundfläche und Höhe. Für den Mantel brauchst du die Höhe . Die Oberfläche ist Grundfläche Mantel.
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback