Mathematik · Klasse 9–10 · aktualisiert
Potenzgesetze einfach erklärt: Regeln und Übungen
Potenzgesetze vereinfachen Potenzterme. Du lernst, welches Muster zu welcher Regel passt und was null, negative und gebrochene Exponenten bedeuten.
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Kurz gesagt
Potenzgesetze sind Rechenregeln für Potenzen. Bei gleicher Basis addierst du beim Multiplizieren die Exponenten, a^m \cdot a^n = a^{m + n}, und subtrahierst sie beim Dividieren. Bei gleichem Exponenten fasst du die Basen zusammen, bei (a^m)^n multiplizierst du die Exponenten.
Potenzen lassen sich gezielt vereinfachen: Bei gleicher Basis rechnest du mit den Exponenten, bei gleichem Exponenten mit den Basen. Bei einer Potenz einer Potenz multiplizierst du die Exponenten. Entscheidend ist, zuerst das passende Muster zu erkennen. Danach ist jede Regel nur noch ein kurzer Rechenschritt.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Eine Potenz kürzt ein Produkt gleicher Faktoren ab: 3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81. Bevor du rechnest, prüfst du, was in den Potenzen übereinstimmt: die Basis, der Exponent oder weder noch. Die Regeln gelten nur, wenn alle Potenzen und Quotienten definiert sind. Bei negativen Exponenten und beim Dividieren darf die Basis nicht null sein.
Definition
Basis und Exponent
In a^n heißt a Basis und n Exponent. Bei einem positiven ganzzahligen Exponenten gibt n an, wie oft die Basis als Faktor vorkommt.
| Muster | Regel | Beispiel |
|---|---|---|
| gleiche Basis, mal | a^m \cdot a^n = a^{m + n} | 2^5 \cdot 2^3 = 2^8 |
| gleiche Basis, geteilt | \frac{a^m}{a^n} = a^{m - n} | \frac{5^7}{5^3} = 5^{7 - 3} = 5^4 |
| gleicher Exponent, mal | a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n | 2^3 \cdot 4^3 = 8^3 |
| gleicher Exponent, geteilt | \frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n mit b \ne 0 | \frac{12^2}{4^2} = 3^2 |
| Potenz einer Potenz | (a^m)^n = a^{m \cdot n} | (2^3)^2 = 2^6 = 64 |
Beispiel: (2^3)^2 ausgeschrieben
- 1(2^3)^2 = 2^3 \cdot 2^3
- 2Die 2 kommt also 3 \cdot 2 = 6 Mal als Faktor vor.
- 3(2^3)^2 = 2^6 = 64
Teste dich
Für jede Basis gilt a^1 = a. Für a \ne 0 gilt außerdem a^0 = 1. Der Ausdruck 0^0 ist in der Schulmathematik nicht als Potenzwert festgelegt, die Regel gilt dafür also nicht. Ein negativer Exponent bedeutet Kehrwert: a^{-n} = \frac{1}{a^n} mit a \ne 0, zum Beispiel 2^{-3} = \frac{1}{8}. Klammern bestimmen, ob das Minus zur Basis gehört. Bei einer eingeklammerten negativen Basis ist das Ergebnis bei geradem Exponenten positiv, bei ungeradem negativ. Für Summen und Differenzen von Potenzen gibt es kein allgemeines Potenzgesetz.
Beispiel: Klammer oder nicht?
- 1Mit Klammer: (-4)^2 = (-4) \cdot (-4) = 16
- 2Ohne Klammer: -4^2 = -(4^2) = -16
Beispiel: 2^3 + 2^5 berechnen
- 1Erst jede Potenz ausrechnen: 2^3 = 8 und 2^5 = 32
- 22^3 + 2^5 = 8 + 32 = 40
- 3Zum Vergleich: 2^8 = 256. Die Summe ist also nicht 2^8.
Teste dich
Einen rationalen Exponenten kannst du als Bruch schreiben. Für eine positive Basis a gilt a^{\frac{p}{q}} = \sqrt[q]{a^p} mit q > 0. Der Nenner q bestimmt die Wurzel, der Zähler p die Potenz. Besonders wichtig ist a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}, hier mit a \ge 0. Du kannst auch umgekehrt umformen: \sqrt[3]{x^2} = x^{\frac{2}{3}}. Bei negativen Basen hängt das Ergebnis vom gekürzten Exponenten ab. Deshalb gilt die allgemeine Regel hier nur für positive Basen.
Beispiel: 16^{\frac{3}{4}} berechnen
- 1Nenner 4: die vierte Wurzel aus 16 ziehen
- 2\sqrt[4]{16} = 2, denn 2^4 = 16
- 3Zähler 3: das Ergebnis hoch 3 nehmen
- 416^{\frac{3}{4}} = 2^3 = 8
Merke: Beim Bruch im Exponenten gilt: Nenner = Wurzelgrad, Zähler = Potenz.
Teste dich
Bei längeren Termen gehst du Schritt für Schritt vor. Prüfe zuerst die Bedingungen, besonders Nenner und negative Exponenten. Erkenne dann gleiche Basis, gleichen Exponenten oder Potenz einer Potenz und wende genau die passende Regel an. Schreibe negative Exponenten am Ende möglichst als Bruch. Typische Fehler: Bei a^m \cdot a^n werden die Exponenten addiert, bei (a^m)^n multipliziert. Bei einer Division wird der Exponent des Nenners vollständig abgezogen. Ohne gleiche Basis oder gleichen Exponenten darfst du Potenzen nicht zusammenfassen.
Beispiel: \frac{x^3 \cdot x^{-5}}{x^{-1}} für x \ne 0 vereinfachen
- 1Zähler: x^3 \cdot x^{-5} = x^{3 + (-5)} = x^{-2}
- 2Division: \frac{x^{-2}}{x^{-1}} = x^{-2 - (-1)} = x^{-1}
- 3Das Minus vor (-1) dreht das Vorzeichen: -2 + 1 = -1
- 4Als Bruch: x^{-1} = \frac{1}{x}
Teste dich
Alles auf einen Blick
Potenzgesetze
Muster erkennen
gleiche Basis, gleicher Exponent oder Potenz einer Potenz
Gleiche Basis
Exponenten addieren oder subtrahieren
Gleicher Exponent
Basen multiplizieren oder dividieren
Potenz einer Potenz
Exponenten multiplizieren
Besondere Exponenten
a^0 = 1, a^{-n} = \frac{1}{a^n}, a^{\frac{p}{q}} = \sqrt[q]{a^p}
Summen
Für 2^3 + 2^5 gibt es kein Potenzgesetz
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
\frac{(a^2)^3 \cdot a^{-1}}{a^4} für a \ne 0 vereinfachen
- 1Potenz einer Potenz: (a^2)^3 = a^{2 \cdot 3} = a^6
- 2Gleiche Basis im Zähler: a^6 \cdot a^{-1} = a^{6 + (-1)} = a^5
- 3Durch den Nenner teilen: \frac{a^5}{a^4} = a^{5 - 4} = a^1
- 4Ergebnis: a^1 = a
Fehler finden
2^2 \cdot (2^3)^4 als eine Potenz schreiben In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 2Bei gleicher Basis werden die Exponenten addiert, nicht multipliziert: 2^2 \cdot 2^{12} = 2^{2 + 12} = 2^{14}.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Mit Klammer ist (-4)^2 gleich , ohne Klammer ist -4^2 gleich . Für 5^0 erhältst du .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback