Mathematik · Klasse 9–10 · aktualisiert
Potenzfunktionen: Graphen erkennen und zeichnen
Potenzfunktionen erkennst du am Exponenten. Du lernst die vier Grundtypen, ihre Symmetrie, Asymptoten und das Verschieben der Graphen.
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Kurz gesagt
Eine Potenzfunktion hat die Form f(x) = x^n, die Variable steht also in der Basis. Ist n gerade, ist der Graph zur y-Achse symmetrisch, ist n ungerade, zum Ursprung. Ist n negativ, fehlt x = 0 im Definitionsbereich, und beide Achsen sind Asymptoten.
Bei einer Potenzfunktion steht die Variable in der Basis, zum Beispiel bei f(x) = x^3. Ihren Graphen erkennst du vor allem an zwei Eigenschaften des Exponenten: Ist er positiv oder negativ? Ist er gerade oder ungerade? Mit diesen beiden Fragen skizzierst du jeden Grundgraphen und später auch verschobene Graphen.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Die Grundform lautet f(x) = x^n. Dabei ist x die Basis und n der Exponent. Hier ist n eine positive oder negative ganze Zahl. Für die Form des Graphen stellst du zwei Fragen. Ist der Exponent positiv oder negativ? Ist er gerade oder ungerade? Gerade Exponenten machen den Grundgraphen achsensymmetrisch zur y-Achse. Ungerade Exponenten machen ihn punktsymmetrisch zum Ursprung.
Definition
Potenzfunktion
Eine Potenzfunktion ordnet jedem erlaubten x eine Potenz von x zu, etwa f(x) = x^4. Die Variable ist die Basis. Steht die Variable im Exponenten, wie bei 2^x, ist es keine Potenzfunktion, sondern eine Exponentialfunktion.
Beispiel: f(x) = x^2 und g(x) = x^3 bei x = -1
- 1f(-1) = (-1)^2 = 1
- 2g(-1) = (-1)^3 = -1
- 3Die gerade Potenz macht das Minus positiv, die ungerade behält es.
- 4Der Graph von x^2 liegt nie unter der x-Achse, der von x^3 schon.
Teste dich
Die vier Fälle ordnest du nach Vorzeichen und Parität des Exponenten. Bei einem negativen Exponenten steht die Potenz im Nenner, zum Beispiel x^{-3} = \frac{1}{x^3}. Deshalb darf x nicht 0 sein, denn durch 0 kannst du nicht teilen. Auch der Verlauf hängt vom Typ ab. Mit positivem geradem n fällt x^n für x < 0 und steigt für x > 0. Mit positivem ungeradem n steigt der Graph überall. Mit negativem geradem n steigt er links von 0 und fällt rechts von 0. Mit negativem ungeradem n fällt er auf beiden Seiten von 0.
| Exponent | Definitionsbereich | Wertebereich | Symmetrie | Nullstelle |
|---|---|---|---|---|
| positiv und gerade | alle reellen Zahlen | y \ge 0 | zur y-Achse | (0 \mid 0) |
| positiv und ungerade | alle reellen Zahlen | alle reellen Zahlen | zum Ursprung | (0 \mid 0) |
| negativ und gerade | alle reellen Zahlen außer 0 | y > 0 | zur y-Achse | keine |
| negativ und ungerade | alle reellen Zahlen außer 0 | alle reellen Zahlen außer 0 | zum Ursprung | keine |
Merke: Positiv oder negativ entscheidet über Ursprung oder Definitionslücke. Gerade oder ungerade entscheidet über die Art der Symmetrie.
Teste dich
Bei negativen ganzzahligen Exponenten sind beide Koordinatenachsen Asymptoten. Für große Beträge von x wird ein Bruch wie \frac{1}{x^2} immer kleiner. Der Graph nähert sich daher der x-Achse, erreicht sie aber nie. Nähert sich x dagegen der 0, wird der Betrag des Bruchs immer größer. Da x = 0 ausgeschlossen ist, bildet die y-Achse eine senkrechte Asymptote. Beim Vorzeichen unterscheiden sich die Typen: Bei x^{-2} gehen beide Äste nahe x = 0 nach oben. Bei x^{-3} geht der linke Ast nach unten und der rechte nach oben.
Definition
Asymptote
Eine Asymptote ist eine Gerade, der sich ein Graph immer weiter nähert. Bei Potenzfunktionen mit negativem Exponenten erreicht der Graph seine Asymptoten nie.
Beispiel: Punkte von f(x) = x^{-3}
- 1f(-2) = (-2)^{-3} = -\frac{1}{8}
- 2f(2) = 2^{-3} = \frac{1}{8}
- 3Die Punkte (-2 \mid -\frac{1}{8}) und (2 \mid \frac{1}{8}) liegen punktsymmetrisch zum Ursprung.
Teste dich
Betrachte die Form f(x) = a(x - d)^n + e mit a \ne 0. Bestimme zuerst die Grundform aus Vorzeichen und Parität des Exponenten. Untersuche dann den Faktor a: Für |a| > 1 wird der Graph in y-Richtung gestreckt, für 0 < |a| < 1 gestaucht. Ein negatives a spiegelt ihn zusätzlich an der x-Achse. Lies danach die Verschiebung ab. x - d verschiebt in x-Richtung: bei d > 0 nach rechts, bei d < 0 nach links. Achte auf das Vorzeichen, x - 1 bedeutet also nach rechts. Der Summand e verschiebt bei e > 0 nach oben und bei e < 0 nach unten. Zum Schluss berechnest du einige Punkte und nutzt die Symmetrie.
Beispiel: f(x) = 5(x - 1)^8 + 7 skizzieren
- 1Exponent 8: positiv und gerade, der Grundgraph ist U-förmig
- 2Faktor 5: Streckung in y-Richtung
- 3x - 1: um 1 nach rechts, +7: um 7 nach oben
- 4Tiefster Punkt (1 \mid 7), Symmetrieachse x = 1
- 5f(0) = 5 \cdot (-1)^8 + 7 = 12 und f(2) = 5 \cdot 1^8 + 7 = 12
- 6Die Punkte (0 \mid 12) und (2 \mid 12) liegen symmetrisch zu x = 1.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Potenzfunktionen
Positiver Exponent
Der Graph verläuft durch den Ursprung
Negativer Exponent
Definitionslücke bei x = 0
Gerader Exponent
symmetrisch zur y-Achse
Ungerader Exponent
punktsymmetrisch zum Ursprung
Asymptoten
bei negativem Exponenten beide Koordinatenachsen
Faktor und Verschiebung
a(x - d)^n + e ändert Form und Lage
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Eigenschaften von f(x) = x^{-4} bestimmen
- 1Exponent -4: negativ und gerade
- 2Definitionsbereich: alle reellen Zahlen außer 0
- 3Wertebereich: y > 0, keine Nullstelle
- 4Symmetrie: zur y-Achse, Asymptoten: beide Koordinatenachsen
- 5Wertepaar: f(2) = 2^{-4} = \frac{1}{16}, wegen der Symmetrie auch f(-2) = \frac{1}{16}
Fehler finden
Tiefsten Punkt von f(x) = 2(x + 3)^4 - 5 bestimmen In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 2x + 3 = x - (-3) verschiebt um 3 nach links. Der tiefste Punkt ist (-3 \mid -5), denn bei x = -3 wird die Klammer 0.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Bei f(x) = x^{-4} ist der Exponent und gerade. Deshalb ist der Graph zur symmetrisch, und x = 0 gehört zum Definitionsbereich.
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback