Raumdiagonale im Quader berechnen

Stell dir einen geschlossenen quaderförmigen Karton vor. Eine Strecke von einer unteren Ecke zur gegenüberliegenden oberen Ecke verläuft durch das Innere des Kartons. Diese Strecke ist eine Raumdiagonale. Ein Quader besitzt vier Raumdiagonalen. Sie sind alle gleich lang und werden mit d_R bezeichnet. Eine Flächendiagonale liegt dagegen vollständig in einer rechteckigen Seitenfläche. Sie verbindet zwei gegenüberliegende Ecken dieses Rechtecks.

Für den Satz des Pythagoras brauchst du ein rechtwinkliges Dreieck. In einem solchen Dreieck gilt: \text{Hypotenuse}^2=\text{Kathete}_1^2+\text{Kathete}_2^2. Die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenüber. Die beiden Seiten am rechten Winkel heißen Katheten. Betrachte zuerst eine Rechtecksfläche mit den Seitenlängen a und b. Ihre Flächendiagonale d_F ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks: d_F^2=a^2+b^2 und damit d_F=\sqrt{a^2+b^2}. Nun bilden die Flächendiagonale d_F und die dritte Quaderkante c die Katheten eines zweiten rechtwinkligen Dreiecks. Dessen Hypotenuse ist die Raumdiagonale: d_R^2=d_F^2+c^2. Setzt du d_F^2=a^2+b^2 ein, erhältst du: d_R^2=a^2+b^2+c^2 und schließlich d_R=\sqrt{a^2+b^2+c^2}.

Ein Quader ist 3 cm lang, 4 cm breit und 12 cm hoch. Gesucht ist seine Raumdiagonale. Die drei Kanten stehen paarweise senkrecht aufeinander, deshalb kannst du den Satz des Pythagoras zweimal anwenden. Prüfe am Ende: Das Ergebnis ist eine Länge, und 13 cm ist länger als jede einzelne Kante.

Nur zwei Kanten verwenden: Mit \sqrt{a^2+b^2} berechnest du nur eine Flächendiagonale. Für die Raumdiagonale brauchst du auch die dritte Kante c. Kantenlängen einfach addieren: a+b+c ist ein Weg entlang dreier Kanten. Die Raumdiagonale ist die direkte Strecke zwischen zwei Ecken. Die Wurzel vergessen: a^2+b^2+c^2 ist das Quadrat der Raumdiagonale. Erst die Quadratwurzel liefert die Länge. Das Ergebnis nicht prüfen: Die Raumdiagonale ist die Hypotenuse des zweiten rechtwinkligen Dreiecks. Sie muss daher länger als jede einzelne Quaderkante sein.