Mathematik · Klasse 9–10 · aktualisiert
Oberfläche einer Pyramide berechnen
Die Oberfläche einer quadratischen Pyramide ist Grundfläche plus Mantel. Du lernst, beide Teile zu berechnen und zu erkennen, welche Flächen gefragt sind.
0 von 9 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Die Oberfläche einer quadratischen Pyramide ist die Summe aus der quadratischen Grundfläche und den vier gleich großen Seitendreiecken: O = a^2 + 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_D. Dabei ist h_D die Höhe eines Seitendreiecks, nicht die Körperhöhe der Pyramide.
Ein Pyramidenzelt, ein spitzes Turmdach, eine Geschenkschachtel mit Spitze: Wie viel Stoff, Blech oder Pappe steckt in der Hülle? Die Oberfläche einer quadratischen Pyramide besteht aus dem Quadrat unten und vier Dreiecken an den Seiten. Du berechnest beide Teile getrennt und addierst sie.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Hier geht es um eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche und vier kongruenten Manteldreiecken. Kongruent bedeutet: Die vier Dreiecke sind gleich groß und gleich geformt. Für die Dreiecke brauchst du die Dreieckshöhe h_D. Sie verläuft innerhalb eines Manteldreiecks senkrecht zu dessen Grundseite a. Ist nur die Körperhöhe h gegeben, berechnest du h_D zuerst mit dem Satz des Pythagoras: h_D = \sqrt{h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2}.
Definition
Grundfläche und Mantelfläche
Die Grundfläche G ist das Quadrat, auf dem die Pyramide steht. Seine Seitenlänge heißt a. Die Mantelfläche M besteht aus den vier dreieckigen Seitenflächen.
Merke: Verwechsle die Dreieckshöhe h_D nicht mit der senkrechten Körperhöhe h der Pyramide. Für die Oberfläche verwendest du h_D.
Teste dich
Die quadratische Grundfläche hat den Flächeninhalt G = a^2. Ein Manteldreieck hat die Grundseite a und die Höhe h_D, also gilt A_D = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_D. Weil der Mantel aus vier gleich großen Dreiecken besteht, rechnest du M = 4 \cdot A_D = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_D.
Beispiel: Mantelfläche bei a = 3\,\mathrm{cm} und h_D = 8\,\mathrm{cm}
- 1Ein Manteldreieck: A_D = \frac{1}{2} \cdot 3\,\mathrm{cm} \cdot 8\,\mathrm{cm} = 12\,\mathrm{cm}^2
- 2Vier Dreiecke: M = 4 \cdot 12\,\mathrm{cm}^2 = 48\,\mathrm{cm}^2
Merke: Erst ein Dreieck berechnen, dann mal 4. So vergisst du weder den Faktor \frac{1}{2} noch eines der vier Dreiecke.
Teste dich
Die gesamte Oberfläche O ist die Summe aus Grundfläche G und Mantelfläche M: O = G + M. Für die quadratische Pyramide folgt daraus O = a^2 + 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_D. Weil 4 \cdot \frac{1}{2} = 2 ist, kannst du auch kürzer O = a^2 + 2 a h_D schreiben.
Beispiel: Oberfläche bei a = 1\,\mathrm{cm} und h_D = 5\,\mathrm{cm}
- 1Grundfläche: G = 1 cm · 1 cm = 1 cm²
- 2Ein Manteldreieck: A_D = \frac{1}{2} \cdot 1\,\mathrm{cm} \cdot 5\,\mathrm{cm} = 2{,}5\,\mathrm{cm}^2
- 3Mantel: M = 4 · 2,5 cm² = 10 cm²
- 4Oberfläche: O = 1 cm² + 10 cm² = 11 cm²
Teste dich
Lies vor dem Rechnen genau, was gefragt ist. Ein Pyramidenzelt ohne Boden, ein Turmdach oder eine Pyramide, die auf dem Tisch steht und nur außen bemalt wird: Hier fehlt die Grundfläche, und du brauchst nur den Mantel. Eine geschlossene Verpackung dagegen braucht alle fünf Flächen.
Beispiel: Zeltdach ohne Boden: a = 3\,\mathrm{m}, h_D = 2{,}5\,\mathrm{m}
- 1Ein Boden wird nicht gebraucht, gesucht ist nur M.
- 2Ein Dreieck: A_D = \frac{1}{2} \cdot 3\,\mathrm{m} \cdot 2{,}5\,\mathrm{m} = 3{,}75\,\mathrm{m}^2
- 3Mantel: M = 4 · 3,75 m² = 15 m²
Merke: Prüfe vor jeder Rechnung die Situation: Sind alle Flächen vorhanden, rechnest du O = G + M. Fehlt die Grundfläche, brauchst du nur M.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Oberfläche Pyramide
Grundfläche
G = a^2
Manteldreieck
A_D = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_D
Mantelfläche
M = 4 \cdot A_D
Gesamtfläche
O = G + M
Dreieckshöhe
h_D, nicht die Körperhöhe h
Prüfen
Grundfläche vorhanden oder offen?
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Oberfläche bei a = 10\,\mathrm{cm} und Körperhöhe h = 12\,\mathrm{cm}
- 1Nur die Körperhöhe ist gegeben, also zuerst h_D bestimmen.
- 2h_D = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{169} = 13, also h_D = 13\,\mathrm{cm}
- 3Grundfläche: G = 10 cm · 10 cm = 100 cm²
- 4Ein Manteldreieck: A_D = \frac{1}{2} \cdot 10\,\mathrm{cm} \cdot 13\,\mathrm{cm} = 65\,\mathrm{cm}^2
- 5Mantel: M = 4 · 65 cm² = 260 cm²
- 6Oberfläche: O = 100 cm² + 260 cm² = 360 cm²
Fehler finden
Oberfläche bei a = 6\,\mathrm{cm} und Körperhöhe h = 4\,\mathrm{cm} In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 2Hier steht die Körperhöhe h = 4\,\mathrm{cm} statt der Dreieckshöhe. Richtig: h_D = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5, also A_D = \frac{1}{2} \cdot 6\,\mathrm{cm} \cdot 5\,\mathrm{cm} = 15\,\mathrm{cm}^2. Dann ist M = 60 cm² und O = 96 cm².
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Die Grundfläche ist ein . Der Mantel besteht aus gleich großen Dreiecken. Für ein Manteldreieck verwendest du die Seitenlänge a und die h_D.
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback